Vraag # f8e6c

Antwoord:

Druk het uit als een meetkundige reeks om de som te vinden #12500/3#.

Uitleg:

Laten we dit als een som weergeven:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

Sinds #1.12=112/100=28/25#, dit is gelijk aan:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Gebruikmakend van het feit dat # (A / b) ^ - C = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, wij hebben:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

We kunnen ook aan de #500# uit het sommatieteken, zoals dit:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Oke, wat is dit nu? Goed, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # is wat bekend staat als a meetkundige reeks. Geometrische reeksen hebben betrekking op een exponent, wat precies is wat we hier hebben. Het geweldige aan geometrische series zoals deze is dat ze samenvatten # R / (1-r) #, waar # R # is de gemeenschappelijke ratio; dat wil zeggen het getal dat wordt verhoogd tot de exponent. In dit geval, # R # is #25/28#, omdat #25/28# is wat wordt verhoogd tot de exponent. (Kanttekening: # R # moet tussen zijn #-1# en #1#, of anders is de reeks nergens op berekend.)

Daarom is de som van deze reeks:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Dat hebben we net ontdekt #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, dus het enige dat overblijft, is het vermenigvuldigen met #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Je kunt hier meer te weten komen over geometrische reeksen (ik moedig je aan om de hele serie die Khan Academy heeft op geometrische reeksen te bekijken).