Wat is de nieuwe transformatiemethode om kwadratische vergelijkingen op te lossen?

Zeg bijvoorbeeld dat je …

# X ^ 2 + bx #

Dit kan worden omgezet in:

# (X + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Laten we uitzoeken of de uitdrukking hierboven terug vertaalt in # X ^ 2 + bx #…

# (X + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

# = ({X + z / 2} + b / 2) ({x + z / 2} b / 2) #

# = (X + 2 x b / 2) x #

# = X (x + b) #

# = X ^ 2 + bx #

Het antwoord is ja.

Nu is het belangrijk om op te merken dat # X ^ 2-bx # (let op het minteken) kan worden omgezet in:

# (X-b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Wat je hier doet, is Het vierkant voltooien. Je kunt veel kwadratische problemen oplossen door het vierkant te voltooien.

Hier is een primair voorbeeld van deze methode op het werk:

# Ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# Ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax ^ 2 + bx) = 1 / a * -c #

# X ^ 2 + b / a * x = -c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2 (b / (2a)) ^ 2 = -c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = (b 2-4ac ^) / (4a ^ 2) #

# X + b / (2a) = + - sqrt (b 2-4ac ^) / sqrt (4a ^ 2) #

# X + b / (2a) = + - sqrt (b 2-4ac ^) / (2a) #

# X = b / (2a) + - sqrt (b 2-4ac ^) / (2a) #

#:. x = (- b + -sqrt (b 2-4ac ^)) / (2a) #

De beroemde kwadratische formule kan worden afgeleid door Het vierkant voltooien.

De nieuwe transformatiemethode om kwadratische vergelijkingen op te lossen.

ZAAK 1. Oplossen van type # x ^ 2 + bx + c = 0 #. Oplossen betekent het vinden van 2 getallen die hun som kennen (# -B #) en hun product (# C #). De nieuwe methode stelt factorparen samen van (# C #), en in dezelfde tijd past de tekenregel toe. Vervolgens wordt het paar gevonden waarvan de som gelijk is aan (# B #) of (# -B #).

Voorbeeld 1. Oplossen # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

Oplossing. Stel factorparen samen van #c = -102 #. Wortels hebben verschillende tekens. Doorgaan: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# De laatste som # (- 6 + 17 = 11 = -b). # Dan zijn de 2 echte wortels: #-6# en #17#. Geen factoring door groeperen.

CASE 2. Standaard type oplossen: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

De nieuwe methode transformeert deze vergelijking (1) naar: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

Los de vergelijking (2) op zoals we in CASE 1 deden om de 2 echte wortels te krijgen # Y_1 # en # Y_2 #. Splits daarna # Y_1 # en # Y_2 # door de coëfficiënt a om de 2 echte wortels te krijgen # X_1 # en # X_2 # van de oorspronkelijke vergelijking (1).

Voorbeeld 2. Oplossen # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240. #

Getransformeerde vergelijking: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). Los vergelijking (2) op. Beide wortels zijn positief (Rule of Signs). Stel factorparen samen van # a * c = 240 #. Doorgaan: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. Deze laatste som is # (5 + 48 = 53 = -b) #. Dan zijn de 2 echte wortels: # y_1 = 5 # en

# y_2 = 48 #. Terug naar de oorspronkelijke vergelijking (1), zijn de 2 echte wortels: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; # en # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # Geen factoring en het oplossen van binomials.

De voordelen van de nieuwe transformatiemethode zijn: eenvoudig, snel, systematisch, niet-raden, geen factoring door groeperen en geen binomiale oplossingen.