Hoe vind je alle oplossingen van 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # voor

#x in {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # waar #n in ZZ #

Oplossen: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Vervang eerst # cos ^ 2 x # door # (1 - sin ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

telefoontje # sin x = t #, wij hebben:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Dit is een kwadratische vergelijking van de vorm # op ^ 2 + bt + c = 0 # dat kan worden opgelost door een snelkoppeling:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

of factoring aan # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

Eén echte wortel is # t_1 = -1 # en de andere is # t_2 = 1/2 #.

Los vervolgens de 2 basis trig functies op:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# Rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (voor #n in ZZ #)

en

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# Rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

of

# Rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Controleer met vergelijking (1):

#cos (3pi / 2) = 0; sin (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (correct)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; sin (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (correct)