Wat is de afgeleide van (x ^ 2 + x) ^ 2?

Antwoord:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

Uitleg:

U kunt deze functie onderscheiden door de som en machtsregels. Merk op dat je deze functie kunt herschrijven als

#y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

Nu vertelt de somregel u dat voor functies die de vorm aannemen

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

je kunt de afgeleide van vinden # Y # door de afgeleiden van die individuele functies toe te voegen.

#color (blauw) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

In jouw geval heb je dat

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

Gebruik de powerregel om deze breuken te onderscheiden

#color (blauw) (d / dx (x ^ a) = ax ^ (a-1)) #

Dus, jouw afgeleide zal blijken te zijn

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= kleur (groen) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

alternatief, u kunt de kettingregel gebruiken om te differentiëren # Y #.

#color (blauw) (d / dx (y) = d / (du) (y) * d / dx (u)) #

In jouw geval heb je dat #y = u ^ 2 # en # u = x ^ 2 + x #, zodat je krijgt

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = kleur (groen) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #