Vraag # 059f6

Antwoord:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Uitleg:

De Taylor-ontwikkeling van een functie # F # op #een# is #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Houd er rekening mee dat het een vermogensreeks is, zodat deze niet noodzakelijkerwijs convergeert # F # of zelfs ergens anders convergeren dan bij # X = a #.

We hebben eerst de derivaten van nodig # F # als we willen proberen een echte formule van zijn Taylor-serie te schrijven.

Na calculus en een inductiebewijs kunnen we dat zeggen #AAk in NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # en # f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Dus na een ruwe en kleine vereenvoudiging lijkt het erop dat de Taylor-serie van # F # is #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k 1) #.