Hoe bewijs je (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Antwoord:

Gebruik een paar trig-identiteiten en vereenvoudig. Zie hieronder.

Uitleg:

Ik geloof dat er een fout zit in de vraag, maar het is geen probleem. Om het zinvol te maken, zou de vraag moeten luiden:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

Hoe dan ook, we beginnen met deze uitdrukking:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Wanneer je trig-identiteiten test, is het over het algemeen het beste om aan de kant te werken die een breuk heeft).

Laten we een handige truc gebruiken, genaamd geconjugeerde vermenigvuldiging, waarbij we de breuk vermenigvuldigen met de noemers conjugeren:

# (1-sinx) / (1 + SiNx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-SiNx) (1-sinx)) / ((1 + SiNx) (1-SiNx)) #

# = (1-SiNx) ^ 2 / ((1 + SiNx) (1-SiNx)) #

Het geconjugeerde van # A + b # is # A-b #, dus de geconjugeerde van # 1 + sinx # is # 1-sinx #; we vermenigvuldigen zich met # (1-sinx) / (1-sinx) # om de fractie in evenwicht te brengen.

Let daar op # (1 + SiNx) (1-sinx) # is eigenlijk een verschil in vierkanten, wat de eigenschap heeft:

# (A-b) (a + b) = a ^ 2 B ^ 2 #

Hier zien we dat # A = 1 # en # B = sinx #, dus:

# (1 + SiNx) (1-SiNx) = (1) ^ 2- (SiNx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Van de Pythagorische identiteit # ^ Sin 2x + cos ^ 2x = 1 #, het volgt (na aftrek # Sin ^ 2x # van beide kanten), # Cos ^ = 2x 1-sin ^ 2x #.

Wauw, we zijn vertrokken # (1-sinx) / (1-sinx) # naar # 1-sin ^ 2x # naar # Cos ^ 2x #! Nu ziet ons probleem eruit als:

# (1-SiNx) ^ 2 / cos ^ = 2x (secx-tanx) ^ 2 #

Laten we de teller uitvouwen:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ = 2x (secx-tanx) ^ 2 #

(Onthouden: # (A-b) ^ 2 = a ^ + b ^ 2-2ab 2 #)

Nu gaan we de breuken opbreken:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin 2x ^ / ^ cos 2x #

# = Sec ^ 2 x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin 2x ^ / ^ cos 2x #

# = ^ Sec-2tanxsecx 2x + 2x tan ^ #

Hoe te vereenvoudigen dat ? Nou, onthoud toen ik zei "Onthoud: # (A-b) ^ 2 = a ^ + b ^ 2-2ab 2 #'?

Het blijkt dat # Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # is eigenlijk # (Secx-tanx) ^ 2 #. Als we het laten # A = secx # en # B = tanx #, we kunnen zien dat deze uitdrukking is:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Wat, zoals ik net zei, equivalent is # (A-b) ^ 2 #. Vervangen #een# met # Secx # en # B # met # Tanx # en je krijgt:

# ^ Sec 2x-2tanxsecx + tan ^ = 2x (secx-tanx) ^ 2 #

En we hebben het volgende gedaan:

# (Secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #