Wat zijn de extrema- en zadelpunten van f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) op het interval x, y in [-pi, pi]?

Antwoord:

Uitleg:

Wij hebben:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Stap 2 - Identificeer kritieke punten

Een kritiek punt treedt op bij een gelijktijdige oplossing van

# f_x = f_y = 0 iff (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke x) = (gedeeltelijke f) / (gedeeltelijke y) = 0 #

d.w.z. wanneer:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # gelijktijdig

Overweeg vergelijking A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Dan hebben we twee oplossingen:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Laten we nu Eq B gebruiken om de overeenkomstige coördinaat te vinden:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x in RR # (Goten)

Wat ons de volgende kritieke punten geeft:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 kritieke punten)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 kritieke punten)

# (alpha, 0) AA alpha in RR # (dakgootlijn)

# (alpha, + -pi) AA alpha in RR # (2 rugmarge lijnen)

Overweeg vergelijking B

# -6sinxsin2y = 0 #

Dan hebben we twee oplossingen:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Laten we nu Eq A gebruiken om de corresponderende coördinaat @ te vinden

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (herhalingen van hierboven)

# y = 0 => x in RR # (herhaling van hierboven)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (herhalingen van hierboven)

Wat ons geen extra kritieke punten geeft:

Stap 3 - Classificeer de kritieke punten

Om de kritieke punten te classificeren voeren we een test uit die vergelijkbaar is met die van één variabele calculus met behulp van de tweede partiële afgeleiden en de Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (jjj)) | = | ((gedeeltelijke ^ 2 f) / (gedeeltelijke x ^ 2), (gedeeltelijke ^ 2 f) / (gedeeltelijke x gedeeltelijke y)), ((gedeeltelijke ^ 2 f) / (gedeeltelijke y gedeeltelijke x), (gedeeltelijke ^ 2 f) / (gedeeltelijke y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (jj) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Dan afhankelijk van de waarde van #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Er is een maximum als" f_ (xx) <0), (, "en een minimum als" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "er is een zadelpunt"), (Delta = 0, "Verdere analyse is noodzakelijk"):} #

Met behulp van aangepaste Excel-macro's worden de functiewaarden samen met de gedeeltelijke afgeleide waarden als volgt berekend:

Hier is een grafiek van de functie

En de ploit met de kritieke punten (en goten)