Wat is de kubuswortel van (sqrt3 -i)?

Ik zou beginnen met het omzetten van het getal in goniometrische vorm:

# Z = sqrt (3) -i = 2 cos (pi / 6) + isin (-pi / 6) #

De kubuswortel van dit nummer kan worden geschreven als:

# Z ^ (1/3) #

Met dit in gedachten gebruik ik de formule voor de nde macht van een complex getal in trigonometrische vorm:

# Z ^ n ^ r = n cos (ntheta) + isin (ntheta) # geven:

# Z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (pi / 18) + isin (-pi / 18) #

Die in rechthoekig is: # 4.2-0.7i #

Ik kan het niet helemaal eens zijn met het antwoord van Gió, omdat het onvolledig is en ook (formeel) fout.

De formele fout zit in het gebruik van De formule van De Moivre met niet-integer exponenten. De formule van De Moivre kan alleen worden toegepast op integer exponenten. Meer informatie hierover op de Wikipedia-pagina

Daar vind je een gedeeltelijke uitbreiding van de formule om mee om te gaan # N #-de wortels (het gaat om een extra parameter # K #): als # z = r (cos theta + i sin theta) #, dan

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # waar # k = 0, …, n-1 #.

Eén (en in zekere zin de) Zeer fundamentele eigenschap van complexe getallen is dat # N #-de wortels hebben … # N # wortels (oplossingen)! De parameter # K # (dat varieert tussen #0# en # N-1 #, dus # N # waarden) laat ons ze samenvatten in een enkele formule.

Dus kubuswortels hebben drie oplossingen en het vinden van slechts één ervan is niet voldoende: het is gewoon "#1/3# van de oplossing ".

Ik schrijf mijn oplossingsvoorstel hieronder. Reacties zijn welkom!

Zoals Gió terecht suggereerde, drukt de eerste stap uit # Z = sqrt {3} -i # in zijn trigonometrische vorm #r (cos theta + i sin theta) #. Wanneer het gaat om wortels, is de trigonometrische vorm (bijna) altijd een handig hulpmiddel (samen met de exponentiële vorm). Jij krijgt:

# R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = {wortel 3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Zo # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Nu wil je de wortels berekenen. Door de hierboven vermelde formule krijgen we:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

waar # k = 0, 1, 2 #. Er zijn dus drie verschillende waarden van # K # (#0#, #1# en #2#) die het leven schenken aan drie verschillende complexe wortels van # Z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i sin (-23/18 pi)) #

# Z_0 #, # Z_1 # en # Z_2 # zijn de drie oplossingen.

De geometrische interpretatie van de formule voor de # N # wortels zijn erg handig om de oplossingen in het complexe vlak te tekenen. Ook de plot geeft heel goed de eigenschappen van de formule aan.

Allereerst kunnen we zien dat alle oplossingen dezelfde afstand hebben # R ^ {1 / n} # (in ons voorbeeld #2^{1/3}#) van de oorsprong. Dus ze liggen allemaal op een omtrek van straal # R ^ {1 / n} #. Nu moeten we wijzen waar om ze op deze omtrek te plaatsen. We kunnen de argumenten van sinus en cosinus op de volgende manier herschrijven:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

De "eerste" wortel komt overeen met # K = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Alle andere wortels kunnen hieruit worden verkregen door de hoek toe te voegen # (2pi) / n # recursief naar de hoek # Theta / n # ten opzichte van de eerste wortel # Z_0 #. Dus we zijn in beweging # Z_0 # op de omtrek door een rotatie van # (2pi) / n # radialen (# (360 °) / n #). Dus de punten bevinden zich op de hoekpunten van een gewone # N #-gon. Met een van hen kunnen we de anderen vinden.

In ons geval:

waar de blauwe hoek is # Theta / n = pi / 18 # en de magenta is # (2pi) / n = 2/3 pi #.