Hoe de scheidbare differentiaalvergelijking op te lossen en de specifieke oplossing te vinden die voldoet aan de beginvoorwaarde y (-4) = 3?

Antwoord:

Algemene oplossing: #color (rood) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #

Bijzondere oplossing: #color (blauw) ((4j + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Uitleg:

Van de gegeven differentiaalvergelijking #Y '(x) = sqrt (4 y (x) 13) #

let op, dat #y '(x) = dy / dx # en #Y (x) = y #, daarom

# Dy / dx = sqrt (4j + 13) #

deel beide kanten door #sqrt (4j + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4j + 13)) = sqrt (4j + 13) / sqrt (4j + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4j + 13)) = 1 #

Vermenigvuldig beide kanten met # Dx #

# * Dx dy / dx (1 / sqrt (4j + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / annuleren (dx) (1 / sqrt (4j + 13)) = dx * 1 #

# Dy / sqrt (4j + 13) = dx #

transponeren # Dx # aan de linkerkant

# Dy / sqrt (4j + 13) -dx = 0 #

integratie aan beide kanten hebben we de volgende resultaten

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4j + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# 1/2 * (4j + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4j + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (rood) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1) "" #Algemene oplossing

Maar #Y (-4) = 3 # betekent wanneer # X = -4 #, # Y = 3 #

We kunnen nu oplossen voor # C_1 # om op te lossen voor de specifieke oplossing

# (4j + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) 13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Daarom is onze specifieke oplossing

#color (blauw) ((4j + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

God zegene … Ik hoop dat de uitleg nuttig is.

Antwoord:

# Y = x ^ 2 + 13x + 36 #, met #Y> = - 13/4 #.

Uitleg:

#Y> = - 13/4 #, maken #sqrt (4j + 13) # real..

Het herschikken, #x '(y) = 1 / sqrt (4j + 13) #

Zo, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Gebruik makend van #y = 3, wanneer x = -4, C = -`13 / 2 #

Zo. #x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Omgekeerd. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #

De lijn (k-2) y = 3x voldoet aan de curve xy = 1 -x op twee verschillende punten: Zoek de reeks waarden van k. Geef ook de waarden van k op als de lijn een tangens is voor de curve. Hoe het te vinden?

De vergelijking van de regel kan worden herschreven als ((k-2) y) / 3 = x Vervangen van de waarde van x in de vergelijking van de curve, (((k-2) y) / 3) y = 1- ( (k-2) y) / 3 laat k-2 = a (y ^ 2a) / 3 = (3-ya) / 3 y ^ 2a + ya-3 = 0 Omdat de lijn op twee verschillende punten doorsnijdt, is de discriminant van de bovenstaande vergelijking moet groter zijn dan nul. D = a ^ 2-4 (-3) (a)> 0 a [a + 12]> 0 Het bereik van een komt er uit, een in (-oo, -12) uu (0, oo) dus, (k-2) in (-oo, -12) uu (2, oo) 2 aan beide kanten toevoegen, k in (-oo, -10), (2, oo) Als de lijn een tangens moet zijn, discriminant moet nul zijn, omdat

Wat is een specifieke oplossing voor de differentiaalvergelijking (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) en u (0) = - 5?

U ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) 2u (du) / dt = 2t + sec ^ 2t int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C toepassing van de IV (-5) ^ 2 = 2 (0) + tan (0) + C impliceert C = 25 u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25

Los de differentiaalvergelijking op: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y? Bespreek wat voor soort differentiaalvergelijking dit is en wanneer het zich kan voordoen?

Y = (Ax + B) e ^ (4x) (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) = -16y het best geschreven als (d ^ 2y) / (dx ^ 2) - 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 qquad-driehoek die laat zien dat dit een lineaire tweede orde homogene differentiaalvergelijking is, het heeft karakteristieke vergelijking r ^ 2 -8 r + 16 = 0 die als volgt kan worden opgelost (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 dit is een herhaalde wortel dus de algemene oplossing is in de vorm y = (Ax + B) e ^ (4x) dit is niet-oscillerend en modelleert een soort van exponentieel gedrag dat echt afhankelijk is van de waarde van A en B. Men zou kunnen denken dat het een poging zou kunnen zijn om populatie