Hoe int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) te integreren met behulp van gedeeltelijke breuken?

Antwoord:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Uitleg:

Stel de vergelijking in om op te lossen voor de variabelen A, B, C

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x 1) ^ 2) dx #

Laten we eerst A, B, C oplossen

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

LCD # = (X-1) (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

Makkelijker maken

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) #

Herschikken de voorwaarden van de rechterkant

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (Ax ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x 1) ^ 2) #

laten we de vergelijkingen opstellen om op te lossen voor A, B, C door de numerieke coëfficiënten van termen links en rechts te vergelijken

# A + B = 4 "" #eerste vergelijking

# 2A + C = 6 "" #tweede vergelijking

# A-B-C = -2 "" #derde vergelijking

Gelijktijdige oplossing met behulp van de tweede en derde vergelijking resulteert naar

# 2A + A + C-CB = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #vierde vergelijking

Nu de eerste en de vierde vergelijking gebruiken

# 3A-B = 4 "" #vierde vergelijking

# 3 (4-B) -B = 4 "" #vierde vergelijking

# 12-3B-B = 4 #

# -4B = 4-12 #

# -4B = -8 #

# B = 2 #

Oplossen voor A gebruiken # 3A-B = 4 "" #vierde vergelijking

# 3A-2 = 4 "" #vierde vergelijking

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

Los C op met behulp van de # 2A + C = 6 "" #tweede vergelijking en # A = 2 # en # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #tweede vergelijking

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

We voeren nu onze integratie uit

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x 1) ^ 2) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x 1) ^ (- 2)) dx #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + Co#

God zegene … Ik hoop dat de uitleg nuttig is.

Hoe int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) te integreren met behulp van gedeeltelijke breuken?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C We moeten A, B, C zo vinden dat 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) voor alle x. Vermenigvuldig beide zijden met x ^ 2 (2x-1) om 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Equalerende coëfficiënten geven ons {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} En daarmee hebben we A = -2, B = -1, C = 4. Door dit in de initiële vergelijking te vervangen, krijgen we 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 integreer het nu term per term int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx om 2ln | 2x-1 | -2ln | x | +

Hoe int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) te integreren met behulp van gedeeltelijke breuken?

U moet (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) als een gedeeltelijke breuk ontbinden. U zoekt a, b, c in RR zodat (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4). Ik zal je laten zien hoe je een enige kunt vinden, omdat b en c op precies dezelfde manier te vinden zijn. Je vermenigvuldigt beide zijden met x + 3, hierdoor verdwijnt het uit de noemer van de linkerkant en verschijnt het naast b en c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). Je evalueert dit op x-3 om b en c te laten verdwijnen en een

Hoe int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) te integreren met behulp van gedeeltelijke breuken?

= int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x