Hoe int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) te integreren met behulp van gedeeltelijke breuken?

Antwoord:

# 2LN | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Uitleg:

We moeten vinden #ABC# zoals dat

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / B x + / x ^ 2 + C / (2x-1) #

voor iedereen #X#.

Vermenigvuldig beide kanten met # X ^ 2 (2x-1) # te krijgen

# 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 #

# 1 = 2AX ^ 2AX + 2BX-B + Cx ^ 2 #

# 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) x-B #

Equalerende coëfficiënten geven ons

# {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} #

En zo hebben we # A = -2, -1 = B, C = 4 #. Dit vervangen door de initiële vergelijking, krijgen we

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) 2 / x-1 / x ^ 2 #

Integreer het nu term voor termijn

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx #

te krijgen

# 2LN | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

Antwoord:

Het antwoord is # = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #

Uitleg:

Voer de ontleding uit in gedeeltelijke breuken

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x ^ 2 + B / x + C / (2x-1) #

# = (A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2)) / (x ^ 2 (2x-1)) #

De noemers zijn hetzelfde, vergelijk de tellers

# 1 = A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2) #

Laat # X = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # A = -1 #

Laat # X = 1/2 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

Coëfficiënten van # X ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = C / 2 = -4/2 = -2 #

daarom

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = - 1 / x ^ 2-2 / 4 + x / (2x-1) #

Zo, #int (1DX) / (x ^ 2 (2x-1)) = - int (1DX) / x ^ 2-int (2dx) / x + int (4Dx) / (2x-1) #

# = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #