Een driehoek heeft zijden A, B en C. Zijden A en B hebben lengten van respectievelijk 2 en 4. De hoek tussen A en C is (7pi) / 24 en de hoek tussen B en C is (5pi) / 8. Wat is het gebied van de driehoek?

Antwoord:

Het gebied is # Sqrt {6} - sqrt {2} # vierkante eenheden, ongeveer #1.035#.

Uitleg:

Het gebied is de helft van het product van twee zijden keer de sinus van de hoek tussen hen.

Hier krijgen we twee kanten maar niet de hoek ertussen, we krijgen de andere twee hoeken in plaats daarvan. Dus bepaal eerst de ontbrekende hoek door op te merken dat de som van alle drie de hoeken is #pi# radialen:

# Theta = pi- {7 pi} / {24} - {5 pi} / {8} = pi / {12} #.

Dan is het gebied van de driehoek

Gebied # = (1/2) (2) (4) sin (pi / {12}) #.

We moeten berekenen # Sin (pi / {12}) #. Dit kan gedaan worden met behulp van de formule voor de sinus van een verschil:

#sin (pi / 12) = sin (kleur (blauw) (pi / 4) -kleuren (goud) (pi / 6)) #

# = Sin (kleur (blauw) (pi / 4)) cos (kleur (goud) (pi / 6)) - cos (kleur (blauw) (pi / 4)) sin (kleur (goud) (pi / 6)) #

# = ({ Sqrt {2}} / 2) ({ sqrt {3}} / 2) - ({ sqrt {2}} / 2) (1/2) #

# = { Sqrt {6} - sqrt {2}} / 4 #.

Dan wordt het gebied gegeven door:

Gebied # = (1/2) (2) (4) ({ sqrt {6} - sqrt {2}} / 4) #

# = Sqrt {6} - sqrt {2} #.