Wat is een golffunctie en wat zijn de vereisten om zich goed te gedragen, d.w.z. om de fysieke realiteit goed weer te geven?

Antwoord:

De golffunctie is een complex gewaardeerde functie waarvan de amplitude (absolute waarde) de kansverdeling geeft. Het gedraagt zich echter niet op dezelfde manier als een gewone golf.

Uitleg:

In de kwantummechanica praten we over de toestand van een systeem. Een van de eenvoudigste voorbeelden is een deeltje dat in een opwaartse of neerwaartse draaiing kan zijn, bijvoorbeeld een elektron. Wanneer we de spin van een systeem meten, meten we of deze omhoog of omlaag is. Een toestand waarbij we zeker zijn van de uitkomst van de meting, noemen we een eigentoestand (een toestand omhoog) # Uarr # en één down-status # Darr #).

Er zijn ook staten waar we niet zeker zijn van de uitkomst van de meting voordat we deze meten. Deze staten noemen we een superpositie en we kunnen ze opschrijven als # A * uarr + b * darr #. Hier hebben we # | A | ^ 2 # de kans om te meten # Uarr #, en # | B | ^ 2 # de kans om te meten # Darr #. Dit betekent natuurlijk dat # | A | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. We staan toe # A, b # om complexe getallen te zijn, is de reden hiervoor niet meteen duidelijk uit dit voorbeeld, maar in de context van de golffunctie zal dit duidelijker zijn. De bottom line is dat er meer toestanden zijn dan een die dezelfde kansen geeft voor het meten van de spins.

Nu kunnen we proberen een functie aan deze spintoestand toe te wijzen. Aangezien er maar twee uitkomsten zijn van de meting van de spin, hebben we een functie die slechts twee mogelijke ingangen heeft. Als we de functie noemen # Psi # (dit is een heel conventioneel symbool dat wordt gebruikt voor een wavefuntion), hebben we ingesteld #psi (uarr) = a # en #psi (Darr) = b #.

Nu gaan we naar de golffunctie. Een aspect van een deeltje is natuurlijk de locatie. Net als in het geval van spin, kunnen we verschillende waarden voor de locatie meten en kunnen we toestanden hebben waarin het resultaat van de meting niet van tevoren is vastgesteld. Omdat we een ontelbaar oneindig aantal locaties hebben waar een deeltje kan zijn, deze toestand opschrijven als # A * "hier" + b * "daar" # zal niet doen. Het idee van de functie die we hierboven hebben gebruikt, doet dat echter wel. Dus voor elke locatie #X#, we hebben een complexe waarde #psi (x) #. De kansdichtheidsfunctie van het deeltje wordt nu gegeven door # | Psi (x) | ^ 2 #.

In alle eerlijkheid, historisch gezien is het idee van de golffunctie ouder dan die van de spin, maar ik denk dat het begrip van het idee van spin tot op zekere hoogte helpt bij het begrijpen van de golffunctie.

Nu eerst en vooral, waarom wordt het golffunctiecomplex gewaardeerd? De eerste reden kan worden gevonden in het idee van interferentie. De golffunctie van een deeltje kan zichzelf hinderen. Deze interferentie heeft te maken met het optellen van golffuncties, als de golffuncties op een bepaald punt dezelfde absolute waarde geven, dan is de kans dat een deeltje rond dat punt wordt gemeten vergelijkbaar. De functiewaarden kunnen echter verschillend zijn, als ze hetzelfde zijn, zal optelling door hen de amplitude of kansdichtheid 4 (#|2|^2#) keer groter (constructieve interferentie), en als ze verschillen door een teken, negeren ze elkaar (destructieve interferentie). Het blik kan echter ook verschillen door bijvoorbeeld een factor #ik#, wat betekent dat de kansdichtheid wordt #2# keer groter. We weten dat al deze interferenties kunnen optreden. Dit duidt dus op een complexe waardevolle golffunctie zoals eerder beschreven.

De tweede reden is te vinden in de Schrödinger-vergelijking. Aanvankelijk dacht men dat deze golffuncties zich gedroegen zoals klassieke golven. Toen Schrödinger echter probeerde het gedrag van deze golven, of op zijn minst hun evolutie door de tijd, te beschrijven, ontdekte hij dat de vergelijking die klassieke golven regeerde niet adequaat was. Om het te laten werken, moest hij een complex getal in de vergelijking invoeren, wat leidde tot de conclusie dat de functie zelf ook complex moet zijn, en de volgorde van de afgeleiden die in de vergelijking verschijnen verschilt van de klassieke golfvergelijking.

Dit verschil in de vergelijkingen beantwoordt ook je tweede vraag. Omdat de evolutie van de golffunctie zoveel verschilt van die van klassieke golven, kunnen we niet dezelfde methoden gebruiken die we in de klassieke golffysica gebruiken. Er zijn natuurlijk geometrische argumenten die je kunt gebruiken, maar het zal niet genoeg zijn om alle verschijnselen in de kwantumfysica te beschrijven. Bovendien, hoewel de golffunctie veel informatie geeft over de toestand van een deeltje, vertelt het je niets over de spin, omdat de waarneembare spin en locatie weinig met elkaar te maken hebben.

Misschien interpreteer ik verkeerd wat u bedoelt met een geometrische aard. Kunt u misschien een voorbeeld geven van wat u bedoelt? Misschien kan ik je dan verder helpen.

De Golf functie vertegenwoordigt de toestand van een kwantummechanisch systeem zoals een atoom of een molecuul.

Het kan als één van beide worden weergegeven # Psi #, de tijdsonafhankelijk golffunctie, of # Psi #, de tijdsafhankelijke Golf functie.

Omdat de Golf functie vertegenwoordigt blijkbaar een systeem dat zich gedraagt als een Golf (het is geen toeval dat het de Golf functie!), zouden we normaal gesproken een onbeperkt golffunctie om geen grenzen te hebben. Overweeg het feit dat # Sinx # en # Cosx #, twee functies die duidelijk golven zijn, hebben domeinen van # (- oo, oo) #.

VOORBEELD: DE GOLFFUNCTIE VOOR ORBITALS

Laten we echter een paar orbitalen nemen. Er moet een set zijn van randvoorwaarden voor een orbitaal, omdat natuurlijk orbitalen niet oneindig groot zijn.

Een golffunctie kan de lineaire combinatie van atomaire orbitalen om moleculaire orbitalen te vormen:

#color (blauw) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = kleur (blauw) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +. …) #

waar # C_i # is de uitzettingscoëfficiënt het aangeven van de bijdrage van elke atomaire orbitaal aan de specifieke moleculaire orbitaal in kwestie, en # Phi_i ^ "AO" # is de experimentele / proefgolffunctie voor elke atomaire orbitaal.

Aangezien een golffunctie een orbitaal moet kunnen representeren, moet deze een positieve radius hebben (#r> 0 #) en de golffunctie moet zijn single -valued, Gesloten , doorlopend , orthogonale naar alle gerelateerde golffuncties, en normalizable .

Met andere woorden, het moet de verticale lijntest doorstaan, een eindig gebied onder de curve hebben, geen sprongen / discontinuïteiten / asymptoten / onderbrekingen hebben en voldoen aan de volgende twee vergelijkingen:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(de integraal van een golffunctie en zijn complexe conjugaat is #0# als de golffuncties verschillend zijn)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(de integraal van een golffunctie en zijn complexe conjugaat is genormaliseerd zodat het gelijk is #1# als de golffuncties hetzelfde zijn naast het teken # Pmi #)

Een voorbeeldvergelijking voor de golffunctie in bolcoördinaten voor het waterstofatoom is:

#color (blauw) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = kleur (blauw) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Om na te denken heb ik echt tijd besteed om dit te normaliseren. Ik nam zelfs de tijd om met de andere twee orthogonaliteit te controleren # 2p # golffuncties.: P

Voor het geval dat, is hier een appendix van wat ik hierboven in Scratchpads heb gekoppeld.

#' '#

Normalisatie van de

De # 2p_z # atomaire orbitale golffunctie is:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Is de # 2p_z # Golf functie werkelijk genormaliseerd? LATEN WIJ HET UITZOEKEN!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (groen) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Nu, alleen het radiale deel onderzoeken, wat het gekke onderdeel is … laat de viervoudige integratie door delen beginnen!

EVALUATIE VAN HET RADIALE COMPONENT VAN DE GOLFFUNCTIE

Deel 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Laat:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Deel 2

Laat:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Deel 3

Laat:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Deel 4

Laat:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

UITBREIDING / VEREENVOUDIGING

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

EVALUATIE-KLAAR VORM

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Eerste helft annuleert zijn #0#:

# = annuleer ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Tweede helft vereenvoudigt zijn # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = cancel (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) cancel ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + cancel (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + cancel (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + cancel (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Laten we nu de golffunctie als geheel opnieuw bekijken …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stapel (?) (=) 1 #

# = 1 / (cancel (32) cancel (pi)) cancel ((Z / a_0) ^ 5) (cancel (16) cancel ((a_0 / Z) ^ 5)) (cancel (2) cancel (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (blauw) (1 = 1) #

JA! EEN DOET EQUAL ONE! Ik bedoel…

De golffunctie is inderdaad genormaliseerd!: D

Het bewijzen van de onderlinge orthogonaliteit voor de 2p-golffuncties

Laten we de volgende golffuncties kiezen:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Om aan te geven dat ze orthogonaal zijn, moeten we er ten minste een van laten zien:

#int _ ("alle ruimte") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

En van inductie kunnen we de rest impliceren, omdat de radiale componenten identiek zijn. Met andere woorden:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (groen) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Het radiale gedeelte blijkt te zijn # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Laten we dus de hoekige delen evalueren.

De # Theta # deel:

#color (groen) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Laat:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = kleur (groen) (0) #

En nu de # Phi # deel:

#color (groen) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Laat:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = kleur (groen) (0) #

Daarom hebben we over het algemeen:

#color (blauw) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = annuleren (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = kleur (blauw) (0) #

Sinds

#int _ ("alle ruimte") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

de # 2p_z # en # 2p_x # atomaire orbitalen zijn orthogonaal.

Echt, het belangrijkste verschil met het gebruik van de # 2p_y # vergelijking is dat je in plaats daarvan krijgt:

#color (groen) ("Constanten" int_ (0) ^ (oo) "Hetzelfde spul" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

En dus:

#color (blauw) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = kleur (blauw) (0) #

Van vermenigvuldigen #0# door de andere integralen verdwijnt dus de hele integraal en:

#int _ ("alle ruimte") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

dus, de # 2p_x # en # 2p_y # atomaire orbitalen zijn orthogonaal.

Eindelijk, voor de # 2p_y # tegen de # 2p_z #:

#color (groen) ("Constanten" int_ (0) ^ (oo) "Hetzelfde spul" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

We kennen het # Theta # integraal van vóór:

#color (blauw) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = kleur (blauw) (0) #

En zo verdwijnt de hele integraal weer, en inderdaad de # 2p_y # en # 2p_z # orbitalen zijn ook orthogonaal!