Permutatie van de loterij?

Antwoord:

Zie hieronder:

Uitleg:

Bij een permutatie is de volgorde van de trekking van belang. Aangezien we naar tekenen kijken met vervanging, heeft elk cijfer een #1/10# de kans om te worden getrokken. Dit betekent dat we voor elk van de selecties een:

# 1 / 10xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 = 1 / (10000) =. 01% #

de kans dat ons nummer wordt getrokken.

Als de vraag echter is dat ze met de vier getrokken getallen kunnen worden herschikt in elke permutatie, dan hebben we het eigenlijk over combinaties (waarbij de volgorde van de trekking er niet toe doet). Deze combinaties worden opnieuw gedaan met vervanging en daarom moeten we elke zaak afzonderlijk bekijken.

een

Er is een #4/10# de kans om de 6, 7, 8 of 9 te tekenen bij de eerste trekking. Dan een #3/10# kans op het tekenen van een van de resterende 3 nummers in de tweede trekking. Enzovoorts. Dit geeft:

# 4 / 10xx3 / 10xx2 / 10xx1 / 10 = (4!) / 10 ^ 4 = 24 / (10000) =. 24% #.

b

Er is een #3/10# de kans om ofwel een 6,7 ofwel een 8 te tekenen bij de eerste trekking:

# 3 / 10xx (…) #

Als we een 8 hebben getrokken bij de eerste trekking (en er is een kans van 50% om dit te doen), dan zullen de tweede, derde en vierde trekking waarschijnlijk zijn # 3/10, 2/10 en 1/10 #.

De andere 50% van de tijd zullen we echter de 6 of de 7 tekenen. Als we dat doen, moeten we vervolgens een beetje verder kijken voor onze berekening:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) +1/2 (…)) #

Bij de tweede trekking (na het tekenen van een 6 of een 7) kunnen we ofwel een 8 tekenen (wat zal gebeuren #2/3# van de tijd) of het andere niet-8 nummer (wat de andere zal overkomen #1/3#).

Als we een 8 hebben getrokken, zullen de derde en vierde trekking waarschijnlijk zijn # 2/10 en 1/10 #. Als we echter het andere niet-8-nummer hebben getekend, moeten we wat meer werk doen:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx (…)))) #

Voor de derde en vierde trekking en nog slechts 8s over, is er een #1/10# kans om dat als een derde en een vierde cijfer te tekenen:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx (1 / 10xx1 / 10)))) #

Laten we evalueren:

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (2 / 3xx (2 / 10xx1 / 10) + (1 / 3xx1 / 100))) #

# 3 / 10xx (1 / 2xx (3 / 10xx2 / 10xx1 / 10) + 1 / 2xx (4/300 + 1/300)) #

# 3 / 10xx (1 / 2xx (6/1000) +5/600) #

# 3 / 10xx (6/2000 + 5/600) #

# 3 / 10xx (18/6000 +50 / 6000) #

# 3 / 10xx68 / 6000 = 68/20000 = 34/10000 = 0,34% #

c

Er is een #2/10# kans om een 7 of een 8 te tekenen:

# 2 / 10xx (…) #

Als we een 7 (50% kans) hebben getrokken, dan bij de tweede trekking als we een 8 (#2/3# kans), de derde en vierde trekking zullen zijn # 2/10 en 1/10 # waarschijnlijkheden. We hebben dezelfde situatie als we flip-flop 7 kiezen voor 8 en 8 voor 7. En dus:

# 2 / 10xx (2xx1 / 2xx2 / 3xx2 / 10xx1 / 10 + …) #

Als we een 7 op zowel de eerste als de tweede (#1/3# toeval) trekt, dan kunnen we alleen 8s trekken voor de derde en vierde trekking. Nogmaals, dit is waar als we 8s trekken bij de eerste en tweede trekking - we kunnen alleen 7s trekken voor de derde en vierde trekking:

# 2 / 10xx (2xx1 / 2xx2 / 3xx2 / 10xx1 / 10 + 2xx1 / 2xx1 / 3xx1 / 10xx1 / 10) #

En evalueer:

# 2 / 10xx (4/300 + 1/300) = 10/3000 = 0.bar3% #

d

Bij de eerste trekking kunnen we alleen een 7 of 8 tekenen, met een waarschijnlijkheid van #2/10#:

# 2 / 10xx (…) #

Als we een 7 (a #1/4# kans), dan kunnen we alleen 8s tekenen voor de tweede, derde en vierde trekking.

Als we een 8 hebben getrokken, moeten we verder kijken:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx …) #

Bij de tweede trekking (na de eerste trekking van een 8) kunnen we een 7 of een 8 trekken.

Als we een 7 (#1/3# kans), de derde en vierde trekking moeten 8s zijn.

Als we een 8 hebben getrokken, zullen de derde en vierde trekking plaatsvinden # 2/10 en 1/10 #:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx (1 / 3xx1 / 10xx1 / 10 + 2 / 3xx2 / 10xx1 / 10)) #

Laten we evalueren:

# 2 / 10xx (1 / 4xx1 / 10xx1 / 10xx1 / 10 + 3 / 4xx (1/300 + 4/300)) #

# 2 / 10xx (1/4000 + 5/400) #

# 2 / 10xx51 / 4000 = 51/20000 = 0,255% #