Een paar eerlijke zeszijdige dobbelstenen wordt acht keer gegooid. Vindt u de kans dat een score groter dan 7 niet vaker dan vijf keer wordt gescoord?

Antwoord:

#~=0.9391#

Uitleg:

Voordat we in de vraag zelf ingaan, laten we het hebben over de methode om het op te lossen.

Laten we bijvoorbeeld zeggen dat ik alle mogelijke resultaten wil afrekenen uit het drie keer omdraaien van een eerlijke munt. Ik kan HHH, TTT, TTH en HHT krijgen.

De waarschijnlijkheid van H is #1/2# en de kans op T is ook #1/2#.

Voor HHH en voor TTT, dat is # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # elk.

Voor TTH en HHT is het dat ook # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # elk, maar omdat er 3 manieren zijn om elk resultaat te krijgen, wordt het uiteindelijk # 3xx1 / 8 = 3/8 # elk.

Wanneer ik deze resultaten samenvat, krijg ik #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - wat betekent dat ik nu alle mogelijke resultaten van de coin flip goed heb.

Merk op dat als ik stel # H # zijn # P # en daarom hebben # T # worden # ~ P #en merk ook op dat we een lijn hebben uit de Pascal's Triangle #(1,3,3,1)#, we hebben een vorm van:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

en dus krijgen we in dit voorbeeld:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Nu kunnen we het probleem oplossen.

We krijgen het aantal rollen als 8, dus # N = 8 #.

# P # is de som groter dan 7. Laten we de mogelijke rollen bekijken om de waarschijnlijkheid te vinden dat een som groter dan 7 wordt.

# ((Kleur (wit) (0), UL1, UL2, UL3, ul4, ul5, UL6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Uit de 36 mogelijkheden geven 15 rollen een som groter dan 36, wat een waarschijnlijkheid geeft van #15/36=5/12#.

Met # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

We kunnen de hele som van mogelijkheden uitschrijven - van het krijgen van alle 8 rollen zijnde een som groter dan 7 helemaal tot het verkrijgen van alle 8 rollen zijnde een som van 7 of minder:

# = C_ (8,0) (12/05) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (12/05) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (12/05) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (12/05) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (12/05) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (12/05) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (12/05) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (12/05) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

maar we zijn geïnteresseerd in het samenvatten van alleen die termen waarbij onze meer dan 7 som 5 keer of minder gebeurt:

# = C_ (8,3) (12/05) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (12/05) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (12/05) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (12/05) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (12/05) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Antwoord:

#0.93906#

Uitleg:

# "Dus P uitkomst> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "het komt k keer voor bij 8 worpen" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(binomiale verdeling)" #

# "met" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(combinaties)" #

# "Zo," #

#P "het gebeurt maximaal 5 keer bij 8 worpen" #

# = 1 - P "het komt 6, 7 of 8 keer voor op 8 worpen" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#

Julie gooit een keer een eerlijke rode dobbelsteen en een keer een eerlijke blauwe dobbelsteen. Hoe bereken je de kans dat Julie een zes krijgt op zowel de rode dobbelsteen als de blauwe dobbelsteen. Ten tweede, bereken de kans dat Julie minstens één zes krijgt?

P ("Two sixes") = 1/36 P ("Tenminste one six") = 11/36 De kans om een zes te krijgen wanneer u een eerlijke dobbelsteen gooit is 1/6. De vermenigvuldigingsregel voor onafhankelijke gebeurtenissen A en B is P (AnnB) = P (A) * P (B) Voor het eerste geval krijgt gebeurtenis A een zes op de rode dobbelsteen en gebeurtenis B krijgt een zes op de blauwe dobbelsteen . P (AnnB) = 1/6 * 1/6 = 1/36 Voor het tweede geval willen we eerst de waarschijnlijkheid van het krijgen van geen zessen overwegen. De kans dat een enkele dobbelsteen niet zes werpt is duidelijk 5/6 dus met behulp van de vermenigvuldigingsregel:

Twee dobbelstenen hebben elk de eigenschap dat een 2 of een 4 drie keer zoveel kans heeft om te verschijnen als een 1, 3, 5 of 6 op elke rol. Wat is de kans dat een 7 de som zal zijn wanneer de twee dobbelstenen worden gegooid?

De kans dat je een 7 gooit is 0.14. Laat x gelijk aan de kans dat je een 1 gooit. Dit zal dezelfde waarschijnlijkheid zijn als het rollen van een 3, 5 of 6. De kans dat een 2 of een 4 wordt gegooid is 3x. We weten dat deze kansen moeten toevoegen aan één, dus de waarschijnlijkheid van het rollen van een 1 + de kans op het rollen van een 2 + de kans op het rollen van een 3 + de kans op het rollen van een 4 + de kans op het rollen van een 5 + de kans op rollen a 6 = 1. x + 3x + x + 3x + x + x = 1 10x = 1 x = 0,1 Dus de kans om een 1, 3, 5 of 6 te rollen is 0.1 en de kans op het rollen van een 2 of een 4 is 3 (0,1)

Je gooit twee dobbelstenen. Wat is de kans dat de som van de dobbelstenen groter is dan 8 en dat een van de dobbelstenen een 6 toont?

Waarschijnlijkheid: kleur (groen) (7/36) Als we veronderstellen dat een van de dobbelstenen rood is en de andere blauw, dan laat het onderstaande diagram de mogelijke uitkomsten zien. Er zijn 36 mogelijke resultaten en van deze 7 komen de gegeven vereisten overeen.