Hoe kan ik dit bewijzen? Zou dit een stelling uit echte analyse gebruiken?

# "Gebruik de definitie van afgeleide:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

#"Hier hebben we"#

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "We moeten dat bewijzen" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"of"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"of"#

#h '(x_0) = 0 #

# "met" h (x) = f (x) - g (x) #

#"of"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"of"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(vanwege" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Nu"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "if" h> 0 "en" lim> = 0 "if" h <0 #

# "We hebben de veronderstelling gemaakt dat f en g differentieerbaar zijn" #

# "zo" h (x) = f (x) - g (x) "is ook te differentiëren," #

# "dus de linkerlimiet moet gelijk zijn aan de juiste limiet, dus" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Antwoord:

Ik zal een snellere oplossing bieden dan die op http://socratic.org/s/aQZyW77G. Hiervoor zullen we moeten vertrouwen op enkele bekende resultaten van calculus.

Uitleg:

Bepalen #h (x) = f (x) -g (x) #

Sinds #f (x) le g (x) #, wij hebben #h (x) le 0 #

Op # X = x_0 #, wij hebben #f (x_0) = g (x_0) #, zodat #h (x_0) = 0 #

Dus # X = x_0 # is een maximum van de differentieerbare functie #h (x) # binnen het open interval # (A, b) #. Dus

#h ^ '(x_0) = 0 houdt in #

# f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) houdt # in

# f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #