Antwoord:
Raadpleeg de uitleg
Uitleg:
Het is gemakkelijk om dat te zien
# X ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Vandaar dat we dat hebben # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 of x = -3 #
Wees je bewust van die wortels # X_1 = 3, x_2 = -3 # veelvoud van #2#
omdat we een polynoom van de vierde graad hebben.
Antwoord:
#x = + -3 #
Uitleg:
Normaal gesproken, om een polynoom van graad 4 zoals die hier op te lossen, moet je synthetische deling doen en veel stellingen en regels gebruiken - het wordt nogal rommelig. Deze is echter speciaal omdat we er eigenlijk een kwadratische vergelijking van kunnen maken.
Dit doen we door te verhuren #u = x ^ 2 #. Maak je geen zorgen over waar # U # kwam van; het is gewoon iets dat we gebruiken om het probleem te vereenvoudigen. Met #u = x ^ 2 #, het probleem wordt
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Ziet dat er niet beter uit? Nu hebben we te maken met een mooie, eenvoudige kwadratische vergelijking. In feite is dit een perfect vierkant; met andere woorden, als je het factoreert, krijg je # (U-9) ^ 2 #. Natuurlijk kunnen we de kwadratische formule gebruiken of het vierkant invullen om deze vergelijking op te lossen, maar je hebt meestal niet het geluk om een perfect vierkant kwadratisch te hebben - dus profiteer. Op dit punt hebben we:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Om op te lossen, nemen we de vierkantswortel van beide zijden:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
En dit vereenvoudigt om
# u-9 = 0 #
Uiteindelijk voegen we er 9 aan beide kanten toe om te krijgen
#u = 9 #
Geweldig! Bijna daar. Ons oorspronkelijke probleem heeft echter #X#s erin en ons antwoord heeft een # U # in het. We moeten converteren #u = 9 # in #x = # iets. Maar wees niet bang! Onthoud aan het begin dat we zeiden laten #u = x ^ 2 #? Welnu, nu hebben we onze # U #, we stoppen hem gewoon weer in om onze te vinden #X#. Zo, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (omdat #(-3)^2 = 9# en #(3)^2 = 9#)
Daarom zijn onze oplossingen #x = 3 # en #x = -3 #. Let daar op #x = 3 # en #x = -3 # zijn dubbele wortels, dus technisch gezien zijn alle wortels #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
