Twintig procent van de cliënten van een grote kapsalon is vrouw. In een willekeurige steekproef van 4 cliënten, wat is de kans dat precies 3 cliënten vrouwelijk zijn?

Antwoord:

# 4 cdot (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Uitleg:

We komen misschien in de verleiding om alle mogelijke uitkomsten op te sommen en hun waarschijnlijkheden te berekenen: we moeten tenslotte samplen #3# vrouwtjes # F # van de vier klanten zijn de mogelijkheden

# (F, F, F, M), (F, F, M, F), (F, M, F, F), (M, F, F, F) #

Elke cliënt is een vrouw met waarschijnlijkheid #0.2#, en dus man met waarschijnlijkheid #0.8#. Dus, elk quadruplet dat we net hebben geschreven heeft waarschijnlijkheid

# 0.2 cdot0.2 cdot0.2 cdot0.8 = (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Omdat we vier gebeurtenissen met een dergelijke waarschijnlijkheid hebben, zal het antwoord zijn

# 4 cdot (0.2) ^ 3 cdot 0.8 #

Maar wat als de aantallen veel groter waren? Het opsommen van alle mogelijke evenementen zou snel cumberstone worden. Daarom hebben we modellen: deze situatie wordt beschreven door een bernoulliaans model, wat betekent dat als we willen bereiken # K # successen in # N # experimenten met kans op succes # P #, dan is onze kans

#P = ((n), (k)) p ^ k (1-p) ^ {n-k} #

waar

# ((n), (k)) = frac {n!} {k! (n-k)!} # en #n! = n (n-1) (n-2) … 3 cdot2 #

In dit geval, # N = 4 #, # K = 3 # en # P = 0,2 #, dus

#P = ((4), (3)) 0.2 ^ 3 (0.8) = 4 cdot0.2 ^ 3 (0.8) #