Welk leuk, handig, wiskundig feit weet je dat normaal niet op school wordt geleerd?

Antwoord:

Hoe "torens van exponenten" te evalueren, zoals #2^(2^(2^2))#en hoe het laatste cijfer van te berekenen # 2 ^ n, # # NinNN #.

Uitleg:

Om deze "torens" te evalueren, beginnen we bovenaan en werken we naar beneden.

Zo:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Op een vergelijkbare, maar enigszins ongerelateerde noot, weet ik ook hoe ik de laatste cijfers moet berekenen #2# verhoogd tot een natuurlijke exponent. Het laatste cijfer van #2# ergens op gehesen, gaat altijd tussen vier waarden door: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Dus als u het laatste cijfer van wilt vinden # 2 ^ n #, zoek naar de plaats in de cyclus en je weet het laatste cijfer.

Antwoord:

Als #n> 0 # en #een# is een benadering voor #sqrt (n) #, dan:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

waar #b = n-a ^ 2 #

Uitleg:

Stel dat we de vierkantswortel van een nummer willen vinden #n> 0 #.

Verder zouden we willen dat het resultaat een soort van vervolgfractie is die zich bij elke stap herhaalt.

Proberen:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (wit) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (wit) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Aftrekken #een# van beide kanten om:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Vermenigvuldig beide kanten met #sqrt (n) + a # te krijgen:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Dus indien # A ^ 2 # is iets minder dan # N #, dan # B # zal klein zijn en de voortgezette fractie zal sneller convergeren.

Bijvoorbeeld, als we dat hebben # N = 28 # en kies # A = 5 #, dan krijgen we:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Zo:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #

wat ons een benadering geeft:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

Een rekenmachine vertelt het me #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Dus dit convergeert niet bijzonder snel.

Als alternatief kunnen we plaatsen # N = 28 # en # A = 127/24 # vinden:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Zo:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

geeft ons schattingen:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Dat convergeert een stuk sneller.

Antwoord:

U kunt benaderingen vinden van vierkantswortels met behulp van een recursief gedefinieerde reeks.

Uitleg:

#kleur wit)()#

De methode

Gegeven een positief geheel getal # N # wat geen perfect vierkant is:

• Laat #p = floor (sqrt (n)) # het grootste positieve gehele getal zijn waarvan het kwadraat niet groter is dan # N #.

• Laat #q = n-p ^ 2 #

• Definieer een reeks van gehele getallen door:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "voor" i> = 1):} #

Dan zal de verhouding tussen opeenvolgende termen van de reeks neigen naar # P + sqrt (n) #

#kleur wit)()#

Voorbeeld

Laat # N = 7 #.

Dan #p = floor (sqrt (7)) = 2 #, sinds #2^2=4 < 7# maar #3^2 = 9 > 7#.

Dan # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Dus onze volgorde begint:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

In theorie zou de verhouding tussen opeenvolgende termen moeten neigen naar # 2 + sqrt (7) #

Laten we eens kijken:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Let daar op # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#kleur wit)()#

Hoe het werkt

Stel dat we een reeks hebben gedefinieerd door gegeven waarden van # a_1, a_2 # en een regel:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

voor sommige constanten # P # en # Q #.

Overweeg de vergelijking:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

De wortels van deze vergelijking zijn:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Vervolgens elke volgorde met algemene looptijd # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # zal voldoen aan de herhalingsregel die we hebben gespecificeerd.

Volgende oplossing:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

voor #EEN# en # B #.

We vinden:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

en daarom:

# A = (a_1x_2-A_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-A_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Dus met deze waarden van # x_1, x_2, A, B # wij hebben:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Als #q <3p ^ 2 # dan #abs (x_2) <1 # en de verhouding tussen opeenvolgende termen zal neigen naar # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Antwoord:

Modulaire divisie

Uitleg:

Modulaire deling is net hetzelfde als deling, behalve dat het antwoord de rest is in plaats van de werkelijke waarde. Liever dan de #-:# symbool, u gebruikt de #%# symbool.

Meestal bijvoorbeeld als u op wilt lossen #16-:5# je zou krijgen #3# rest #1# of #3.2#. Echter, met behulp van modulaire divisie, #16%5=1#.

Antwoord:

Vierkanten met sommaties evalueren

Uitleg:

Normaal gesproken zou u vierkanten moeten kennen zoals #5^2=25#. Echter, als getallen groter worden zoals #25^2#, het wordt moeilijker om van de top van je hoofd te weten.

Ik besefte dat vierkanten na een tijdje gewoon een paar oneven getallen zijn.

Wat ik bedoel is dit:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # waar # K # is de basiswaarde minus #1#

Zo #5^2# kan worden geschreven als:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Dat geeft je:

#1+3+5+7+9#

Dit is het in feite #25#.

Aangezien de aantallen altijd met stijgen #2#, Ik zou dan het eerste en laatste nummer kunnen toevoegen en dan vermenigvuldigen met # K / 2 #.

Dus voor #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Dus ik kan het gewoon doen #(49+1)(25/2)# en krijg #25^2# welke is #625#.

Het is niet echt praktisch, maar het is interessant om te weten.

#kleur wit)()#

Bonus

Wetende dat:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n termen" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

stelt ons in staat om enkele problemen op te lossen met betrekking tot verschillen in vierkanten.

Wat zijn bijvoorbeeld alle oplossingen in positieve gehele getallen #m, n # van # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Dit reduceert tot het vinden van welke sommen opeenvolgende oneven gehele getallen optellen #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "gemiddelde 20" #

#color (wit) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (white) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (wit) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "gemiddelde 10" #

#color (wit) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (white) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (wit) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #