Wat is de vierkantswortel van 89?

Antwoord:

De vierkantswortel van #89# is een getal dat in het kwadraat wordt gegeven #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Uitleg:

Sinds #89# is priem, #sqrt (89) # kan niet worden vereenvoudigd.

U kunt het benaderen met behulp van een Newton Raphson-methode.

Ik wil het graag een beetje als volgt herformuleren:

Laat #n = 89 # wees het nummer dat u de vierkantswortel wilt.

Kiezen # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # zodat # P_0 / q_0 # is een redelijke rationale benadering. Ik koos sindsdien voor deze specifieke waarden #89# is ongeveer halverwege #9^2 = 81# en #10^2 = 100#.

Herhaal met behulp van de formules:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

Dit geeft een betere rationele benadering.

Zo:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Dus als we hier stopten, zouden we een schatting krijgen:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Laten we nog een stap verder gaan:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Dus we krijgen een schatting:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Deze Newton Raphson-methode convergeert snel.

#kleur wit)()#

Eigenlijk een vrij goede eenvoudige benadering voor #sqrt (89) # is #500/53#, sinds #500^2 = 250000# en #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Als we hier één iteratiestap op toepassen, krijgen we een betere benadering:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#kleur wit)()#

Voetnoot

Alle vierkantswortels van positieve gehele getallen hebben herhaalde breuken van breuken, die u ook kunt gebruiken om rationale benaderingen te geven.

In het geval van #sqrt (89) # de aanhoudende breukuitbreiding is een beetje rommelig dus niet zo leuk om mee te werken:

#sqrt (89) = 9; balk (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

De benadering #500/53# hierboven is #9; 2, 3, 3, 2#