Bereik van e ^ x / ([x] +1), x> 0 en waarbij [x] het grootste gehele getal aangeeft?

Antwoord:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Uitleg:

Ik neem aan #X# is het kleinste gehele getal dat groter is dan #X#. In het volgende antwoord gebruiken we de notatie #ceil (x) #, de plafondfunctie genoemd.

Laat #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Sinds #X# is strikt groter dan #0#, dit betekent dat het domein van # F # is # (0, + oo) #.

Zoals #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # en sindsdien # E ^ x # is altijd positief, # F # is altijd strikt groter dan #0# in zijn domein. Het is belangrijk om in acht te nemen dat # F # is niet injectief en is ook niet continu bij de natuurlijke aantallen. Om dit te bewijzen, laat # N # een natuurlijk getal zijn:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Omdat #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Evenzo #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Omdat de limieten aan de linker en rechter zijde niet gelijk zijn, # F # is niet continu bij de gehele getallen. Ook, #L> R # voor iedereen #n in NN #.

Zoals # F # neemt toe in intervallen die worden begrensd door de positieve gehele getallen, de "kleinste waarden" per interval zijn als #X# nadert de ondergrens van rechts.

Vandaar de minimumwaarde van # F # wordt

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Dit is de ondergrens van het bereik van # F #.

Hoewel het niet echt juist is om dat te zeggen # F # neemt toe, het is asymptotisch gezien in de zin van oneindigheid - zoals hieronder wordt aangetoond:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Zoals #ceilx> = x #er bestaat een #delta <1 # zoals dat # Ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Laat #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# E ^ u # neemt exponentieel toe, terwijl # U # doet dit lineair, wat betekent dat

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Daarom is het bereik van # F # is

# "Bereik" = (1/2, oo) #

Het interval is links open omdat #http: // 2 # is nog steeds #f (0) #en als #X# benaderingen #0^+#, #f (x) # alleen benaderingen #http: // 2 #; het is nooit echt gelijk.