Wat is de afstand tussen (0, 0, 8) en (9, 2, 0)?

Antwoord:

De afstand is #sqrt (149) #

Uitleg:

De afstand tussen twee punten

# (x_1, y_1, z_1) #

en

# (x_2, y_2, z_2) #

in # RR ^ 3 # (drie dimensies) wordt gegeven door

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Als we het toepassen op het probleem bij de hand, krijgen we de afstand tussen #(0, 0, 8)# en #(9, 2, 0)# zoals

# "distance" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Het volgende is een uitleg over waar de afstandsformule vandaan komt en is niet nodig om de bovenstaande oplossing te begrijpen.

De bovenstaande afstandsformule lijkt verdacht veel op de afstandsformule in # RR ^ 2 # (twee dimensies):

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

die voortkomt uit een eenvoudige toepassing van de stelling van Pythagoras, door een rechthoekige driehoek te tekenen tussen twee punten met de benen evenwijdig aan de #X# en # Y # assen.

Het blijkt, de # RR ^ 3 # versie kan op dezelfde manier worden afgeleid. Als we (maximaal) 3 lijnen gebruiken om twee punten aan te sluiten, parallel aan de #X#, # Y #, en # Z # bijlen, krijgen we een doos met de punten als tegenoverliggende hoeken. Laten we dus eens kijken hoe we de afstand over de diagonaal van een doos berekenen.

We proberen de lengte van de rode lijn te achterhalen #color (rood) (AD) #

Omdat dit de hypotenusa van de driehoek is # ABD #, van de stelling van Pythagoras:

# (kleur (rood) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (kleur (blauw) (BC)) ^ 2 #

# => kleur (rood) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (kleur (blauw) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Helaas hebben we niet de lengte van #color (blauw) (BD) # als een gegeven. Om het te krijgen, moeten we opnieuw de stelling van Pythagoras toepassen, deze keer voor de driehoek # BCD #.

# (kleur (blauw) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Omdat we alleen het kwadraat van nodig hebben #color (blauw) (BD) #, we kunnen nu vervangen # ("Ii") # in #("ik")#:

#color (rood) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Eindelijk, als we dat hebben #EEN# op # (x_1, y_1, z_1) # en # D # op # (x_2, y_2, z_2) #, dan hebben we de lengte

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Het substitueren hiervan in het bovenstaande geeft ons het gewenste resultaat.

Als een extra opmerking, terwijl we alleen gemakkelijk geometrische bewijzen in maximaal 3 dimensies kunnen maken, hebben wiskundigen de gegeneraliseerde afstand vergroot # RR ^ n # (# N # dimensies). De afstand tussen

# (x_1, x_2, …, x_n) # en # (y_1, y_2, …, y_n) # is gedefinieerd als

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

die overeenkomt met het patroon van # RR ^ 2 # en # RR ^ 3 #.