De halfwaardetijd van kobalt 60 is 5 jaar. Hoe verkrijgt u een exponentieel vervalmodel voor kobalt 60 in de vorm Q (t) = Q0e ^ -kt?

Antwoord:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Uitleg:

We hebben een differentiaalvergelijking opgesteld. We weten dat de veranderingssnelheid van het kobalt evenredig is met de hoeveelheid kobalt die aanwezig is. We weten ook dat het een vervalmodel is, dus er zal een negatief teken zijn:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Dit is een leuke, eenvoudige en afzonderlijke diff-eq:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# impliceert ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Verhoog elke kant tot exponentiële:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Nu we de algemene vorm kennen, moeten we uitzoeken wat # K # is.

Laat de halveringstijd worden aangegeven door # Tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#therefore 1/2 = e ^ (- ktau) #

Neem natuurlijke stammen van beide kanten:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Voor meer duidelijkheid, herschrijven #ln (1/2) = -ln (2) #

#therefore k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) jr ^ (- 1) #

#therefore Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #