Wat is de limiet van ((1 / x) - ((1) / (e ^ (x) -1)) als x benaderingen 0 ^ +?

Antwoord:

# lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 #

Uitleg:

Laat:

# f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) #

# "" = ((e ^ x-1) - (x)) / (x (e ^ x-1)) #

# "" = (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) #

Dan zoeken we:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) #

Omdat dit van een onbepaalde vorm is #0/0# we kunnen de regel van L'Hôpital toepassen.

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1 - x)) / (d / dx (xe ^ x-x)) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) #

Nogmaals, dit is van een onbepaalde vorm #0/0# we kunnen de regel van L'Hôpital opnieuw toepassen:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (xe ^ x + e ^ x - 1)) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x) / (xe ^ x + e ^ x + e ^ x) #

# = (e ^ 0) / (0 + e ^ 0 + e ^ 0) #

# = 1/2 #