Eén positief geheel getal is 3 minder dan twee keer een ander. De som van hun vierkanten is 117. Wat zijn de gehele getallen?

Antwoord:

#9# en #6#

Uitleg:

De vierkanten van de eerste paar positieve gehele getallen zijn:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

De enige twee waarvan de som is #117# zijn #36# en #81#.

Ze passen bij de voorwaarden sinds:

#color (blauw) (6) * 3/2 = kleur (blauw) (9) #

en:

#color (blauw) (6) ^ 2 + kleur (blauw) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Dus de twee gehele getallen zijn #9# en #6#

Hoe kunnen we deze formeler hebben gevonden?

Stel dat de gehele getallen zijn # M # en # N #, met:

#m = 2n-3 #

Dan:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Zo:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (wit) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (white) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (white) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (wit) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (wit) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (wit) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Vandaar:

#n = 6 "" # of # "" n = -18 / 5 #

We zijn alleen geïnteresseerd in positieve oplossingen voor geheel getal, dus:

#n = 6 #

Dan:

#m = 2n-3 = 2 (kleur (blauw) (6)) - 3 = 9 #