Wat is de snelste en gemakkelijkste methode voor het oplossen van kubieke en quartische vergelijkingen (zonder een polynomiale rekenmachine)?

Antwoord:

Het hangt er van af…

Uitleg:

Als het kubieke of quartische (of enige polynoom in die zin) rationele wortels heeft, dan is de rationele wortels theorema misschien wel de snelste manier om ze te vinden.

Descartes 'Rule of Signs kan ook helpen om vast te stellen of een polynomiale vergelijking positieve of negatieve wortels heeft, dus help de zoekopdracht te verfijnen.

Voor een kubieke vergelijking kan het nuttig zijn om de discriminant te evalueren:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Als #Delta = 0 # dan heeft de cubic een herhaalde root.

• Als # Delta <0 # dan heeft de kubieke schijf een echte wortel en twee niet-echte complexe wortels.

• Als # Delta> 0 # dan heeft de cubic drie echte wortels.

Als #Delta = 0 # dan deelt de kubieke schijf een factor met zijn afgeleide, dus je zou in staat moeten zijn om hun gemeenschappelijke factor te vinden door de veeltermige GCF te berekenen.

Anders is het waarschijnlijk nuttig om een Tschirnhaus-transformatie te gebruiken om a af te leiden depressieve kubieke zonder kwadratische term voordat je verder gaat.

Als een kubieke schijf een echte wortel heeft en twee niet-echte, dan zou ik Cardano's methode aanbevelen.

Als het drie echte wortels heeft, raad ik aan in plaats daarvan een trigonometrische substitutie te gebruiken.

Voor quartics kun je een depressieve quartic krijgen zonder kubusterm door een substitutie zoals #t = x + b / (4a) #.

Als het resulterende kwartiel ook geen lineaire term heeft, dan is het een kwadratische inch # X ^ 2 #. Je kunt dat als kwadratisch oplossen en wortels wortelen, of een factorisatie van de vorm gebruiken:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Hieruit kun je kwadratische factoren vinden om op te lossen.

Als het resulterende kwartic een lineaire term heeft, dan kan het worden verwerkt in de vorm:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Equaliseer coëfficiënten en gebruik # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, je kunt een kubiek afleiden # A ^ 2 #. Daarom kunt u mogelijke waarden vinden voor #een#, # B # en # C #. Zoek vervolgens de nullen van de kwadratische factoren.

Er zijn andere speciale gevallen, maar die bedekt het grofweg.