Bewijs dat een element van een integraal domein een eenheid is als het het domein genereert.?

Bewijs dat een element van een integraal domein een eenheid is als het het domein genereert.?
Anonim

Antwoord:

De bewering is onjuist.

Uitleg:

Overweeg de ring met nummers van het formulier:

# A + bsqrt (2) #

waar #a, b in QQ #

Dit is een commutatieve ring met multiplicatieve identiteit #1 != 0# en geen zero-delers. Dat wil zeggen, het is een integraal domein. In feite is het ook een veld, aangezien elk niet-nul element een multiplicatieve inverse heeft.

De multiplicatieve inverse van een niet-nul element van de vorm:

# a + bsqrt (2) "" # is # "" a / (a ^ 2-2b ^ 2) -b / (a ^ 2-2b ^ 2) sqrt (2) #.

Een niet-nul rationaal getal is dan een eenheid, maar genereert niet de hele ring, omdat de subring die hierdoor wordt gegenereerd alleen rationale getallen bevat.