Wat is de vierkantswortel van 90?

Antwoord:

#sqrt (90) = 3sqrt (10) ~~ 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #

Uitleg:

#sqrt (90) = sqrt (3 ^ 2 * 10) = 3sqrt (10) # is een onredelijk getal ergens tussenin #sqrt (81) = 9 # en #sqrt (100) = 10 #.

In feite sindsdien #90 = 9 * 10# is van de vorm #n (n + 1) # het heeft een regelmatige verdere breukuitbreiding van het formulier # N, bar (2,2n) #:

#sqrt (90) = 9; balk (2,18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (18+…)))))) #

Een leuke manier om rationale benaderingen te vinden, is het gebruik van een geheel getal-volgorde gedefinieerd door een lineaire herhaling.

Beschouw de kwadratische vergelijking met nullen # 19 + 2sqrt (90) # en # 19-2sqrt (90) #:

# 0 = (x-19-2sqrt (90)) (x-19 + 2sqrt (90)) #

#color (white) (0) = (x-19) ^ 2- (2sqrt (90)) ^ 2 #

#color (wit) (0) = x ^ 2-38x + 361-360 #

#color (wit) (0) = x ^ 2-38x + 1 #

Zo:

# x ^ 2 = 38x-1 #

Gebruik dit om een reeks af te leiden:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 38a_ (n + 1) -a_n):} #

De eerste paar termen van deze reeks zijn:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,…#

De verhouding tussen opeenvolgende termen zal de neiging hebben # 19 + 2sqrt (90) #

Vandaar:

#sqrt (90) ~~ 1/2 (2080805 / 54796-19) = 1/2 (1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051 #