Hoe los ik 2sinx = cos (x / 3) op?

Antwoord:

Onze geschatte oplossingen zijn:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, of -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

voor integer # K #.

Uitleg:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Dit is een behoorlijk moeilijke.

Laten we beginnen met het instellen # Y = x / 3 # zo # X = 3y # en vervangen. Dan kunnen we de drievoudige hoekformule gebruiken:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Laten we vierkant zijn zodat we alles in termen van schrijven # sin ^ 2 y #. Dit zal waarschijnlijk externe wortels introduceren.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Laat # s = sin ^ 2 y #. Gekwadrateerde sinussen worden genoemd spreads in Rationele trigonometrie.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Dat is een kubieke vergelijking met drie echte wortels, kandidaten voor de kwadratische sinussen van # 3x. # We zouden de kubieke formule kunnen gebruiken, maar dat zal alleen maar leiden tot kubuswortels van complexe getallen die niet bijzonder nuttig zijn. Laten we gewoon een numerieke oplossing nemen:

# s 0.66035 of s 0.029196 of s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Laten we in graden werken. Onze potentiële benaderende oplossingen zijn:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) approx pm 163.058 ^ circ of pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) approx pm 29.5149 ^ circ of pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) approx pm 192.573 ^ circ of pm 732.573 ^ circ #

Laten we kijken of een van die werken. Laat #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) approx 0.00001 quad # dat is een oplossing.

#e (-163.058 ^ circ) approx -1.17 quad # geen oplossing.

Het is duidelijk dat hoogstens één van een #p.m# paar zal werken.

Nog tien andere te gaan.

#e (703.058 ^ circ) approx 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # Nee

#e (29.5149 ^ circ) approx 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # Nee

#e (569.51 ^ circ) approx 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # Nee

#e (192.573 ^ circ) approx -.87 quad # Nee

#e (-192.573 ^ circ) approx 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circ) approx -.87 quad # Nee

#e (-732.573 ^ circ) approx 0.00001 quad sqrt #

De ArcSin wordt geleverd met een # + 360 ^ circ k #en de factor drie maakt het # 1080 ^ circ k. #

OK, onze geschatte oplossingen zijn:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # voor integer # K #.