Hoe onderscheid je f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) met behulp van de productregel?

Antwoord:

Eerst gebruik je de productieregel om te krijgen

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

Gebruik vervolgens de lineariteit van de afgeleide en functie afgeleide definities om te krijgen

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #

Uitleg:

Productregel omvat het nemen van de afgeleide van de functie die veelvouden zijn van twee (of meer) functies, in de vorm #f (x) = g (x) * h (x) #. De productregel is

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

Toepassen op onze functie,

#f (x) = (x-e ^ x) (cosx 2sinx +) #

Wij hebben

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

Daarnaast moeten we de lineariteit van de afleiding gebruiken, die

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

We hebben dit toegepast

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (SiNx)) #.

We moeten de individuele afgeleiden van deze functies doen, die we gebruiken

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

Nu hebben we

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

Op dit punt hebben we net een beetje genaaid

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #