Hoe uit te breiden in Maclaurin-serie dit? f (x) = ^ int_0 xlog (1-t) / TDT

Antwoord:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n 1) ^ 2 #

Visueel: bekijk deze grafiek

Uitleg:

We kunnen deze integraal duidelijk niet evalueren, omdat hij een van de reguliere integratietechnieken gebruikt die we hebben geleerd. Omdat het echter een duidelijke integraal is, kunnen we een MacLaurin-serie gebruiken en zogenaamde term-voor-termijnintegratie doen.

We zullen de MacLaurin-serie moeten vinden. Omdat we de n-de afgeleide van die functie niet willen vinden, moeten we proberen hem in een van de MacLaurin-series te passen die we al kennen.

Ten eerste, we houden niet van # Log #; dat willen we maken # Ln #. Om dit te doen, kunnen we gewoon de verandering van de basisformule gebruiken:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Dus we hebben:

# Int_0 ^ xln (1-t) / (TLN (10)) dt #

Waarom doen we dit? Welnu, merk dat nu op # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Waarom is dit zo speciaal? Goed, # 1 / (1-x) # is een van onze meest gebruikte MacLaurin-series:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…voor iedereen #X# op #(-1, 1#

We kunnen deze relatie dus in ons voordeel gebruiken en vervangen #ln (1-t) # met # Int-1 / (1-t) dt #, wat ons in staat stelt om dat te vervangen # Ln # termijn met een MacLaurin-serie. Door dit samen te stellen, krijg je:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Evaluatie van de integraal:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Annuleren van de # T # term in de noemer:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

En nu nemen we de definitieve integraal waarmee we het probleem begonnen met:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Notitie: Let op hoe we ons nu geen zorgen hoeven te maken over delen door nul in dit probleem, wat een probleem is dat we in de originele integrand hadden vanwege de # T # term in de noemer. Aangezien dit in de vorige stap werd geannuleerd, laat dit zien dat de discontinuïteit verwijderbaar is, wat goed werkt voor ons.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # geëvalueerd van #0# naar #X#

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Zorg er echter voor dat je je realiseert dat deze serie alleen goed is voor het interval #(1, 1#, omdat de hierboven gebruikte MacLaurin-serie alleen convergent is op dit interval. Bekijk deze grafiek die ik heb gemaakt om een beter idee te krijgen van hoe dit eruit ziet.

Hoop dat het geholpen heeft:)