Waarom is het invullen van het vierkant nuttig? + Voorbeeld

Antwoord:

Om kwadratische uitdrukkingen te vereenvoudigen zodat ze oplosbaar worden met vierkante wortels.

Uitleg:

Het invullen van het vierkant is een voorbeeld van een Tschirnhaus-transformatie - het gebruik van een substitutie (zij het impliciet) om een polynomiale vergelijking tot een eenvoudiger vorm te reduceren.

Dus gegeven:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # met #a! = 0 #

we zouden kunnen schrijven:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (wit) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (wit) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (white) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (white) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (wit) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Vandaar:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Zo:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Dus begonnen met een kwadratische vergelijking in de vorm:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

we hebben het in een vorm omgezet # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # met #t = (2ax + b) # en # K = sqrt (b ^ 2-4ac) #, waarbij de lineaire term wordt geëlimineerd en alleen gekwadrateerde termen overblijven.

Zolang we blij zijn met het berekenen van vierkantswortels, kunnen we nu elke kwadratische vergelijking oplossen.

Het invullen van het vierkant is ook handig om de vergelijking van een cirkel, ellips of ander kegelsnede in de standaardvorm te krijgen.

Bijvoorbeeld gegeven:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

voltooiing van het vierkant vinden we:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

waardoor we deze vergelijking kunnen identificeren als die van een cirkel met middelpunt #(2, -3)# en straal #5#.