Antwoord:
#= 6 # kubieke eenheden
Uitleg:
de normale vector is #((2),(3),(1))# wat in de richting van octant 1 wijst, dus het volume in kwestie ligt onder het vlak en in octant 1
we kunnen het vliegtuig opnieuw beschrijven als #z (x, y) = 6 - 2x - 3y #
voor #z = 0 # wij hebben
- # z = 0, x = 0 houdt in y = 2 #
- # z = 0, y = 0 betekent x = 3 #
en
- - # x = 0, y = 0 houdt in z = 6 #
het is dit:
het volume dat we nodig hebben is
#int_A z (x, y) dA #
# = int_ (x = 0) ^ (3) int_ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) 6 - 2x - 3y dy dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6y - 2xy - 3 / 2y ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6 (2-2 / 3 x) - 2x (2-2 / 3 x) - 3/2 (2-2 / 3 x) ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x dx #
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6- 4 x + 2/3 x ^ 2 dx #
# = 6x- 2 x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3) #
#= 18- 18 + 54/9 #
#= 6 #
Antwoord:
6
Uitleg:
We gaan een drievoudige integraal uitvoeren.
Het cartesische coördinatensysteem is het meest van toepassing. De volgorde van integratie is niet kritisch. We gaan eerst z, y midden, x laatste.
#underline ("Bepaling van limieten") #
In het vliegtuig #z = 6 - 2x - 3y # en op het coördinatenvlak #z = 0 # Vandaar
# z: 0 rarr 6 - 2x - 3y #
Langs # Z = 0 #, # Y # gaat van 0 tot # 3y = 6 - 2x # Vandaar
#y: 0 rarr 2 - 2 / 3x #
Langs # y = 0, z = 0 # Vandaar
#x: 0 rarr 3 #
We vinden het volume zo #f (x, y, z) = 1 #. Integraal wordt
# Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) int_0 ^ (6-2x-3j) dzdydx #
# = Int_0 3int_0 ^ ^ (2-2 / 3x) z _0 ^ (6-2x-3j) dydx #
# = Int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) (6-2x-3j) dydx #
# = int_0 ^ 3 6y-2xy - 3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 4x - 4x + 4 / 3x ^ 2 - 3/2 (4 - 8 / 3x + 4 / 9x ^ 2)) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx #
# = 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3 #
#=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3 #
#=6#
