Wat zijn de factoren voor 6y ^ 2 - 5y ^ 3 - 4?

Antwoord:

# 6y ^ 2-5j ^ 3-4 = -5 (y-y_1) (y-y_2) (y-y_3) #

# y_1 = 1 / (u_1 + v_1) #

# y_2 = 1 / (omega u_1 + omega ^ 2 v_1) #

# y_3 = 1 / (omega ^ 2 u_1 + omega v_1) #

zoals hieronder uitgelegd …

Uitleg:

Probeer op te lossen #f (y) = -5y ^ 3 + 6y ^ 2-4 = 0 #

Eerste delen door door # -Y ^ 3 # te krijgen:

# 5-6 / y + 4 / y ^ 3 = 0 #

Laat #x = 1 / y #

Dan # 4x ^ 3-6x + 5 = 0 #

Nu laat #x = u + v #

# 0 = 4 (u + v) ^ 3 - 6 (u + v) + 5 #

# = 4u ^ 3 + 4v ^ 3 + (12uv-6) (u + v) + 5 #

# = 4u ^ 3 + 4v ^ 3 + 6 (2uv-1) (u + v) + 5 #

Laat #v = 1 / (2u) #

# = 4u ^ 3 + 1 / (2u ^ 3) + 5 #

Vermenigvuldigen door met # 2u ^ 3 # te krijgen:

# 8 (u ^ 3) ^ 2 + 10 (u ^ 3) +1 = 0 #

# u ^ 3 = (-10 + -sqrt (100-32)) / 16 #

# = (- 10 + -sqrt (68)) / 16 #

# = (- 5 + -sqrt (17)) / 8 #

Schrijven:

# u_1 = root (3) ((- 5 + sqrt (17)) / 8) #

# v_1 = root (3) ((- 5-sqrt (17)) / 8) #

Dan echte root van # 4x ^ 3-6x + 5 = 0 # is

#x = u_1 + v_1 #

De andere twee (complexe) wortels zijn:

#x = omega u_1 + omega ^ 2 v_1 #

#x = omega ^ 2 u_1 + omega v_1 #

waar #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i #

#y = 1 / x #

Dus de echte wortel van #f (y) = 0 # is # y_1 = 1 / (u_1 + v_1) #

en de complexe wortels zijn:

# y_2 = 1 / (omega u_1 + omega ^ 2 v_1) #

# y_3 = 1 / (omega ^ 2 u_1 + omega v_1) #

#f (y) = -5 (y - y_1) (y - y_2) (y - y_3) #