Wat is een stuksgewijs doorlopende functie? + Voorbeeld

Antwoord:

Een stuksgewijs doorlopende functie is een functie die continu is, behalve op een eindig aantal punten in zijn domein.

Uitleg:

Merk op dat de punten van discontinuïteit van een stuksgewijs continue functie geen verwijderbare discontinuïteiten hoeven te zijn. Dat wil zeggen dat we niet vereisen dat de functie continu kan worden gemaakt door deze op die punten opnieuw te definiëren. Het is voldoende dat als we die punten uitsluiten van het domein, de functie continu is op het beperkte domein.

Overweeg bijvoorbeeld de functie:

#s (x) = {(-1, "if x <0"), (0, "if x = 0"), (1, "if x> 0"):} #

grafiek {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5, 5, -2.5, 2.5}

Dit is continu voor iedereen #x in RR # behalve #x = 0 #

De discontinuïteit bij # X = 0 # kan niet worden verwijderd. We kunnen niet herdefiniëren # s (x) # op dat moment en krijg een continue functie.

Op # X = 0 # de grafiek van de functie 'springt'. Formeler, in de taal van limieten vinden we:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

Dus de linker limiet en de rechter limiet zijn het niet eens met elkaar en met de waarde van de functie op # X = 0 #.

Als we de eindige reeks discontinuïteiten uitsluiten van het domein, dan zal de functie beperkt tot dit nieuwe domein continu zijn.

In ons voorbeeld de definitie van # s (x) # als een functie van # (- oo, 0) uu (0, oo) -> RR # is continu.

Als we een grafiek maken # s (x) # beperkt tot dit domein, lijkt het nog steeds alsof het discontinu is #0#, maar #0# maakt geen deel uit van het domein, dus de 'sprong' daar is niet relevant. Op elk moment, willekeurig dichtbij #0#, we kunnen een beetje open interval eromheen kiezen waarin de functie (constant en daarom) continu is.

Iets verwarrend, de functie #tan (x) # wordt beschouwd als continu - in plaats van stukgewijs continu, omdat de asymptoten op #x = pi / 2 + n pi # zijn uitgesloten van het domein.

grafiek {tan (x) -10.06, 9.94, -4.46, 5.54}

Ondertussen de zaagtandfunctie #f (x) = x - vloer (x) # wordt niet beschouwd als stuksgewijs continu als een functie vanaf # RR # naar # RR #, maar is stuksgewijs continu op elk eindig open interval.

grafiek {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2.56, 2.44, -0.71, 1.79}