Wat is het eindgedrag van de functie f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # zoals #X -> infty # (#ln (x) # groeit zonder grenzen als #X# groeit zonder grenzen) en #f (x) = ln (x) -> - infty # zoals #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # groeit zonder gebonden in de negatieve richting als #X# benadert nul van rechts).

Om het eerste feit te bewijzen, moet je in essentie laten zien dat de toenemende functie #f (x) = ln (x) # heeft geen horizontale asymptoot zoals #X -> infty #.

Laat # M> 0 # een gegeven positief getal zijn (ongeacht hoe groot). Als #x> e ^ {M} #, dan #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (sinds #f (x) = ln (x) # is een toenemende functie). Dit bewijst dat elke horizontale lijn # Y = M # kan geen horizontale asymptoot zijn van #f (x) = ln (x) # zoals #X -> infty #. Het feit dat #f (x) = ln (x) # is een toenemende functie impliceert dat nu #f (x) = ln (x) -> infty # zoals # X-> infty #.

Om het tweede feit te bewijzen, laat # M> 0 # een gegeven positief getal zijn, zodat # -M <0 # is een gegeven negatief getal (ongeacht hoe ver vanaf nul). Als # 0 <x <e ^ M} #, dan #f (x) = ln (x) < ln (e ^ { M) = - M # (sinds #f (x) = ln (x) # neemt toe). Dit bewijst dat #f (x) = ln (x) # komt onder elke horizontale lijn als # 0 <x # is voldoende dicht bij nul. Dat betekent #f (x) = ln (x) -> - infty # zoals #x -> 0 ^ {+} #.