Wat zijn de extrema- en zadelpunten van f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Antwoord:

Deze functie heeft geen stationaire punten (weet je zeker dat #f (x, y) = 2x + 2 ^ (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x # is degene die je wilde studeren ?!).

Uitleg:

Volgens de meest diffuse definitie van zadel punten (stationaire punten die niet extrema zijn), je bent op zoek naar de stationaire punten van de functie in zijn domein # D = x ne 0 = RR ^ 2 setminus {(0, y) in RR ^ 2} #.

We kunnen nu de gegeven uitdrukking herschrijven # F # op de volgende manier: #f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2y / x #

De manier om ze te identificeren is om naar de punten te zoeken die de gradiënt teniet doen # F #, wat de vector is van de partiële afgeleiden:

#nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) #

Omdat het domein een open set is, hoeven we niet te zoeken naar extrema die uiteindelijk op de grens ligt, omdat een open verzameling geen grenspunten bevat.

Dus laten we het verloop van de functie berekenen:

#nabla f (x, y) = (14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x) #

Dit is null wanneer tegelijkertijd aan de volgende vergelijkingen wordt voldaan:

# 14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2 = 0 #

# 2x ^ 2y = 1 / x #

We kunnen de tweede omzetten # Y = 1 / (2 x ^ 3) # en vervang het door als eerste te krijgen

# 14x + 2 x (1 / (2 x ^ 3)) ^ 2 + (1 / (2 x ^ 3)) / x ^ 2 = 0 #

# 14x + 1 / (2 x ^ 5) + 1 / (2 x 5 ^) = 0 #

# 14x ^ 6 + 1 = 0 #

Hier kan niet aan worden voldaan #x in RR #, dus de gradiënt is nooit nul op het domein. Dit betekent dat de functie geen stationaire punten heeft!