Wat is de vierkantswortel van sqrt ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

Antwoord:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2 y ^ 2) + sqrt (y ^ 2 ^ z-2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

op voorwaarde dat ten minste twee van de volgende bewaarplichten:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

Uitleg:

Let daar op:

# (X ^ y ^ 2-2) + (y ^ 2 ^ z-2) + (z ^ 2-x ^ 2) #

# = kleur (rood) (annuleren (kleur (zwart) (x ^ 2))) - kleur (rood) (annuleren (kleur (zwart) (x ^ 2))) + kleur (paars) (annuleren (kleur (zwart) (y ^ 2))) - kleur (paars) (annuleren (kleur (zwart) (y ^ 2))) + kleur (violet) (annuleren (kleur (zwart) (z ^ 2))) - kleur (violet) (annuleren (kleur (zwart) (z ^ 2))) = 0 #

Dus laten we eens kijken wat er gebeurt als we vierkant maken:

#sqrt (x ^ 2 y ^ 2) + sqrt (y ^ 2 ^ z-2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) #

zoals de gekwadrateerde termen zullen annuleren …

# (Sqrt (x ^ 2 y ^ 2) + sqrt (y ^ 2 ^ z-2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (Sqrt (x ^ 2 y ^ 2)) ^ 2 + (sqrt (y ^ 2 ^ z-2)) ^ 2 + (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2 y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2 ^ z-2)) #

# = Kleur (rood) (annuleren (kleur (zwart) ((x ^ 2 y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2 y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2 ^ z-2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2 y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 y ^ 2) (y ^ 2 ^ z-2))) #

Dus de vierkantswortel die we willen is:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2 y ^ 2) + sqrt (y ^ 2 ^ z-2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#kleur wit)()#

Notes

Het bovenstaande antwoord gaat min of meer uit van:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

Hoewel dit wel geldt als tenminste één van #a, b # is niet-negatief, het faalt als beide negatief zijn.

Dit kan gebeuren in de bovenstaande afleiding als, bijvoorbeeld:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Dan vinden we:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… het tegenovergestelde teken van wat we nodig hebben.