Water dat lekt op een vloer vormt een cirkelvormig zwembad. De straal van het zwembad neemt toe met een snelheid van 4 cm / min. Hoe snel neemt het oppervlak van het zwembad toe als de straal 5 cm is?

Antwoord:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Uitleg:

Ten eerste moeten we beginnen met een vergelijking die we kennen met betrekking tot het gebied van een cirkel, het zwembad en de straal:

# = A pir ^ 2 #

We willen echter zien hoe snel het gebied van het zwembad toeneemt, wat veel lijkt op de snelheid … die veel op een afgeleide lijkt.

Als we de afgeleide van nemen # = A pir ^ 2 # met betrekking tot tijd, # T #, we zien dat:

# (DA) / dt = pi * 2r * (DR) / dt #

(Vergeet niet dat de kettingregel van toepassing is aan de rechterkant, met # R ^ 2 #- dit is vergelijkbaar met impliciete differentiatie.)

Dus we willen bepalen # (DA) / dt #. De vraag heeft ons dat verteld # (Dr) / dt = 4 # toen het zei: "de straal van het zwembad neemt toe met een snelheid van #4# cm / min, "en we weten ook dat we dit willen vinden # (DA) / dt # wanneer # R = 5 #. Als deze waarden worden ingeplugd, zien we dat:

# (DA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Om dit onder woorden te brengen, zeggen we dat:

Het gebied van het zwembad neemt in een tempo toe # Bb40pi # cm# "" ^ Bb2 #/ min wanneer de straal van de cirkel is # Bb5 # cm.

Het volume van een kubus neemt toe met een snelheid van 20 kubieke centimeter per seconde. Hoe snel, in vierkante centimeters per seconde, neemt het oppervlak van de kubus toe op het moment dat elke rand van de kubus 10 centimeter lang is?

Bedenk dat de rand van de kubus varieert met de tijd, dus dat is een functie van tijd l (t); zo:

Water lekt uit een omgekeerde conische tank met een snelheid van 10.000 cm3 / min, terwijl water met constante snelheid in de tank wordt gepompt. Als de tank een hoogte van 6 m heeft en de diameter bovenaan 4 m is en als het waterniveau stijgt met een snelheid van 20 cm / min wanneer de hoogte van het water 2 m is, hoe vindt u dan de snelheid waarmee het water in de tank wordt gepompt?

Laat V het volume water in de tank zijn, in cm ^ 3; laat h de diepte / hoogte van het water zijn, in cm; en laat r de straal zijn van het oppervlak van het water (bovenaan), in cm. Omdat de tank een omgekeerde kegel is, is ook de massa water. Aangezien de tank een hoogte heeft van 6 m en een straal bovenaan 2 m, impliceert dezelfde driehoek dat frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 zodat h = 3r. Het volume van de omgekeerde kegel van water is dan V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Onderscheid nu beide zijden met betrekking tot tijd t (in minuten) om frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} te krijgen (de kettin

Toen Jane's waden zwembad nieuw was, kon het worden gevuld in 6 minuten, met water uit een slang. Nu het zwembad meerdere lekken heeft, duurt het slechts 8 minuten, want al het water lekt uit het volledige zwembad. Hoe lang duurt het om de lekkende pool te vullen?

24 minuten Als het totale volume van het zwembad x eenheden is, wordt elke minuut x / 6 eenheden water in het zwembad geplaatst. Op dezelfde manier lekt er elke minuut x / 8 eenheden water uit het zwembad. Vandaar dat (+) x / 6 - x / 8 = x / 24 eenheden water per minuut worden gevuld. Daarom duurt het 24 minuten om het zwembad te vullen.