Hoe vind je dex (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx met behulp van gedeeltelijke breuken?

Antwoord:

Je probeert de rationele functie op te splitsen in een som die heel gemakkelijk te integreren is.

Uitleg:

Allereerst: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Gedeeltelijke fractie-ontbinding stelt u in staat om dat te doen:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # met # a, b in RR # die je moet vinden.

Om ze te vinden, moet je beide zijden vermenigvuldigen met een van de polynomen links van de gelijkheid. Ik toon een voorbeeld voor jou, de andere coëfficiënt is op dezelfde manier te vinden.

We zullen vinden #een#: we moeten alles vermenigvuldigen met #X# om de andere coëfficiënt te laten verdwijnen.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

Je doet hetzelfde om te vinden # B # (je vermenigvuldigt alles met # (X-1) # dan kies je #x = 1 #), en dat ontdek je #b = 1 #.

Zo # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, wat impliceert dat #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #