Hoe vind je dex (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx met behulp van gedeeltelijke breuken?

Antwoord:

Je probeert de rationele functie op te splitsen in een som die heel gemakkelijk te integreren is.

Uitleg:

Allereerst: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Gedeeltelijke fractie-ontbinding stelt u in staat om dat te doen:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # met # a, b in RR # die je moet vinden.

Om ze te vinden, moet je beide zijden vermenigvuldigen met een van de polynomen links van de gelijkheid. Ik toon een voorbeeld voor jou, de andere coëfficiënt is op dezelfde manier te vinden.

We zullen vinden #een#: we moeten alles vermenigvuldigen met #X# om de andere coëfficiënt te laten verdwijnen.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

Je doet hetzelfde om te vinden # B # (je vermenigvuldigt alles met # (X-1) # dan kies je #x = 1 #), en dat ontdek je #b = 1 #.

Zo # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, wat impliceert dat #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #

Hoe integreer je f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) met behulp van gedeeltelijke breuken?

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C Sinds de noemer is al in rekening gebracht, alles wat we moeten doen is gedeeltelijke breuken oplossen voor de constanten: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Merk op dat we zowel een x als een constante term op de meest linkse breuk nodig hebben omdat de teller altijd 1 graad lager is dan de noemer. We zouden kunnen vermenigvuldigen met de noemer aan de linkerkant, maar dat zou een enorme hoeveelheid werk zijn, dus we kunnen in plaats daarvan slim zijn en de cover-up-me

Hoe int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) te integreren met behulp van gedeeltelijke breuken?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C We moeten A, B, C zo vinden dat 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) voor alle x. Vermenigvuldig beide zijden met x ^ 2 (2x-1) om 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB Equalerende coëfficiënten geven ons {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} En daarmee hebben we A = -2, B = -1, C = 4. Door dit in de initiële vergelijking te vervangen, krijgen we 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 integreer het nu term per term int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx om 2ln | 2x-1 | -2ln | x | +

Hoe vind je int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx met behulp van gedeeltelijke breuken?

Ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C Laat 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) be = (A / (1 + x) + B / (1 - 2x) ) Uitbreiding van de rechterkant, we krijgen (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) Gelijk, we krijgen (A * (1 - 2x ) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dwz A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 of A - 2Ax + B + Bx = 3 of (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 stellen de coëfficiënt van x gelijk aan 0 en stellen constanten gelijk, we krijgen A + B = 3 en -2A + B = 0 Oplossen voor A & B, we krijgen A = 1 en B = 2 Vervangen in de integratie, we krijgen int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx = int (1 / (1