Axe ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 oplossen?

Antwoord:

Een snelle schets …

Uitleg:

Gegeven:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # met #a! = 0 #

Dit wordt nogal snel rommelig, dus ik zal gewoon een schets van één methode geven …

Vermenigvuldigen met # 256a ^ 3 # en vervanger #t = (4ax + b) # om een depressief monisch kwart van de vorm te krijgen:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Merk op dat er geen term in zit # T ^ 3 #, het moet een factor zijn in de vorm:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#kleur (wit) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Als we coëfficiënten vergelijken en een beetje herschikken, hebben we:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Dus we vinden:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (wit) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (wit) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Vermenigvuldigen, vermenigvuldigen met # A ^ 2 # en een beetje herschikken, wordt dit:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Deze "kubieke inch # A ^ 2 #"heeft tenminste één echte root.In het ideale geval heeft het een positieve echte root die twee mogelijke reële waarden oplevert #EEN#. Hoe dan ook, elke wortel van de kubus zal het doen.

Gezien de waarde van #EEN#, wij hebben:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Vandaar dat we twee quadraters moeten oplossen.