De snelheidsfunctie is v (t) = -t ^ 2 + 3t - 2 voor een deeltje dat langs een lijn beweegt. Wat is de verplaatsing (netto afgelegde afstand) van het deeltje gedurende het tijdsinterval [-3,6]?

Antwoord:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103.5 #

Uitleg:

Het gebied onder een snelheidscurve is gelijk aan de afgelegde afstand.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (wit) ("X") dt #

# = - 1 / 3T ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (blauw) ((- 3)) ^ kleur (rood) (6) #

# = (kleur (rood) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (kleur (blauw) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Antwoord:

De oorspronkelijke vraag is een beetje verwarrend omdat het impliceert dat verplaatsing en afstand hetzelfde is, wat het niet is.

Ik heb de noodzakelijke integratie voor elk verschillend geval hieronder opgezet.

Uitleg:

Totale afstand (scalaire grootheid die de werkelijke padlengte weergeeft) wordt gegeven door de som van de gedeeltelijke integralen

# X = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Totale verplaatsing (vectorhoeveelheid die de rechte lijn van het begin tot het einde van de beweging weergeeft) wordt in grootte gegeven door de volgende integraal

# | Vecx | = -Int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2 + 2-3t) dt #

De grafiek van de snelheidsfunctie met de tijd maakt duidelijk waarom deze integralen moeten worden ingesteld voor de vectorregels waaraan moet worden voldaan en aan de definities waaraan moet worden voldaan.

grafiek {-x ^ 2 + 3x-2 -34.76, 38.3, -21.53, 14.98}

De snelheidsfunctie is v (t) = - t ^ 2 + 4t-3 voor een deeltje dat langs een lijn beweegt. Vind de verplaatsing van het deeltje tijdens het tijdsinterval [0,5]?

Het probleem wordt hieronder geïllustreerd. Hier wordt de snelheid van het deeltje uitgedrukt als een functie van de tijd als, v (t) = - t ^ 2 + 4t - 3 Als r (t) de verplaatsingsfunctie is, wordt het gegeven als, r (t) = int_ (t "" _ 0) ^ tv (t) * dt Volgens de voorwaarden van het probleem, t "" _ 0 = 0 en t = 5. Aldus wordt de uitdrukking, r (t) = int_0 ^ 5 (-t ^ 2 + 4t - 3) * dt betekent r (t) = (-t ^ 3/3 + 2t ^ 2 -3t) onder de limieten [0,5] Dus, r = -125/3 + 50 - 15 De eenheden moet worden gezet.

De snelheid van een deeltje dat langs de x-as beweegt, wordt gegeven als v = x ^ 2 - 5x + 4 (in m / s), waarbij x staat voor de x-coördinaat van het deeltje in meters. Vind de grootte van de versnelling van het deeltje wanneer de snelheid van het deeltje nul is?

A Gegeven snelheid v = x ^ 2-5x + 4 Versnelling a - = (dv) / dt: .a = d / dt (x ^ 2-5x + 4) => a = (2x (dx) / dt-5 (dx) / dt) We weten ook dat (dx) / dt- = v => a = (2x -5) v bij v = 0 bovenstaande vergelijking wordt a = 0

Een deeltje wordt geprojecteerd vanaf de grond met een snelheid van 80 m / s onder een hoek van 30 ° met horizontaal vanaf de grond. Wat is de grootte van de gemiddelde snelheid van het deeltje in het tijdsinterval t = 2s tot t = 6s?

Laten we de tijd bekijken die het deeltje nodig heeft om de maximale hoogte te bereiken, het is, t = (u sin theta) / g Gegeven, u = 80ms ^ -1, theta = 30 dus, t = 4.07 s Dat betekent dat het bij 6s al begonnen is naar beneden gaan. Dus, opwaartse verplaatsing in 2s is, s = (u sin theta) * 2 -1/2 g (2) ^ 2 = 60.4m en verplaatsing in 6s is s = (u sin theta) * 6 - 1/2 g ( 6) ^ 2 = 63.6m Dus verticale verschuiving in (6-2) = 4s is (63.6-60.4) = 3.2m en horizontale verplaatsing in (6-2) = 4s is (u cos theta * 4) = 277.13m Dus de netto verplaatsing is 4s is sqrt (3.2 ^ 2 + 277.13 ^ 2) = 277.15m Dus, gemiddelde velcoïteit =