Wat is het gebied van een regelmatige zeshoek met een apothem van 6 meter lang?

Antwoord:

#S_ (zeshoek) = 216 / sqrt (3) = 36sqrt (3) ~ = 62.35m ^ 2 #

Uitleg:

Met verwijzing naar de regelmatige zeshoek, kunnen we aan de hand van de afbeelding hierboven zien dat het wordt gevormd door zes driehoeken waarvan de zijkanten twee cirkelradiussen zijn en de zijkant van de zeshoek. De hoek van elk hoekpunt van deze driehoek in het midden van de cirkel is gelijk aan #360^@/6=60^@# en dat moeten de twee andere hoeken zijn die met de basis van de driehoek zijn gevormd voor elk van de stralen: dus deze driehoeken zijn gelijkzijdig.

De apothem verdeelt elk van de gelijkzijdige driehoeken gelijk in twee rechthoekige driehoeken waarvan de zijkanten de straal van de cirkel zijn, apothem en de helft van de zijkant van de zeshoek. Omdat de apothem een rechte hoek vormt met de zijkant van de zeshoek en omdat de zijkant van de zeshoek zich vormt #60^@# met een straal van een cirkel met een eindpunt gemeenschappelijk met de zeshoek kant, kunnen we de kant op deze manier bepalen:

#tan 60 ^ @ = ("tegenovergestelde katheter") / ("aangrenzende katheter") # => #sqrt (3) = (Apothem) / ((zijkant) / 2 # => # side = (2 / sqrt (3)) Apothem #

Zoals reeds vermeld, wordt het gebied van de regelmatige zeshoek gevormd door het gebied van 6 gelijkzijdige driehoeken (voor elk van deze driehoeken is de basis een zeshoekige kant en functioneert het apothema als hoogte) of:

#S_ (hexagon) = 6 * S_triangle = 6 ((basis) (hoogte)) / 2 = 3 (2 / sqrt (3)) Apothem * Apothem = (6 / sqrt (3)) (Apothem) ^ 2 #

=> #S_ (hexagon) = (6 xx 6 ^ 2) / sqrt (3) = 216 / sqrt (3) #