Wat is de projectie van (4 i + 4 j + 2 k) op (i + j -7k)?

Antwoord:

De vectorprojectie is #< -2/17,-2/17,14/17 >#, de scalaire projectie is # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Zie hieronder.

Uitleg:

Gegeven # Veca = (4i + 4j + 2k) # en # vecb = (i + j-7k) #, we kunnen vinden #proj_ (vecb) veca #, de vector projectie van # Veca # naar # Vecb # met behulp van de volgende formule:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Dat wil zeggen, het puntproduct van de twee vectoren gedeeld door de grootte van # Vecb #, vermenigvuldigd met # Vecb # gedeeld door zijn omvang. De tweede hoeveelheid is een vectorhoeveelheid, omdat we een vector delen door een scalair. Merk op dat we delen # Vecb # door zijn grootte om een eenheid Vector (vector met magnitude van #1#).U merkt misschien dat de eerste hoeveelheid scalair is, omdat we weten dat wanneer we het puntproduct van twee vectoren nemen, het resultaat een scalaire waarde is.

Daarom, de scalaire projectie van #een# naar # B # is #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, ook geschreven # | Proj_ (vecb) veca | #.

We kunnen beginnen door het puntproduct van de twee vectoren te nemen, die kunnen worden geschreven als # veca = <4,4,2> # en # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Dan kunnen we de omvang van vinden # Vecb # door de vierkantswortel te nemen van de som van de vierkanten van elk van de componenten.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => Sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

En nu hebben we alles wat we nodig hebben om de vectorprojectie van te vinden # Veca # naar # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

U kunt de coëfficiënt distribueren naar elk onderdeel van de vector en schrijven als:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

De scalaire projectie van # Veca # naar # Vecb # is slechts de eerste helft van de formule, waar #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Daarom is de scalaire projectie # -6 / sqrt (51) #, wat niet verder vereenvoudigt, naast het rationaliseren van de noemer, indien gewenst, geven # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Ik hoop dat het helpt!