1.cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + cos ^ 2 ((31π) / 24) + cos ^ 2 ((37π) / 24) =? los dit op

Antwoord:

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) = 2 #

Uitleg:

Pret. Ik weet niet hoe ik dit eenmalig moet doen, dus we proberen gewoon wat.

Er lijken duidelijk geen complementaire of aanvullende hoeken in het spel te zijn, dus misschien is onze beste zet om te beginnen met de dubbele hoekformule.

#cos 2 theta = 2 cos ^ 2 theta - 1 #

# cos ^ 2 theta = 1/2 (1 + cos 2 theta) #

# Cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({} 19π / 24) + cos ^ 2 ({} 31π / 24) + cos ^ 2 ({} 37π / 24) #

# = 4 (1/2) + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12) + cos ({31 pi} / 12) + cos ({37 pi} / 12)) #

Nu vervangen we hoeken door coterminal degenen (degenen met dezelfde trig functies) door af te trekken # 2 pi. #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12 -2pi) + cos ({31 pi} / 12 - 2pi) + cos ({37 pi} / 12 - 2pi)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos (- {5pi} / 12) + cos ({7pi} / 12) + cos ({13 pi} / 12)) #

Nu vervangen we hoeken door aanvullende hoeken, waardoor de cosinus teniet wordt gedaan. We voegen ook het minteken toe aan het cosinus-argument, wat de cosinus niet verandert.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos (pi - {7pi} / 12) - cos (pi - {13 pi} / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (-pi / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (pi / 12)) #

# = 2 + 1/2(0) #

# = 2 #

Antwoord:

#2#

Uitleg:

We weten dat, #cos (pi / 2 + theta) = - sintheta => kleur (rood) (cos ^ 2 (pi / 2 + theta) = (- sintheta) ^ 2 = sin ^ 2teta #

Zo, #color (rood) (cos ^ 2 ((31pi) / 24) = cos ^ 2 (pi / 2 + (19pi) / 24) = sin ^ 2 ((19pi) / 2) … tot (1) #

#en cos ((3pi) / 2 + theta) = sintheta => kleur (blauw) (cos ^ 2 ((3pi) / 2 + theta) = sin ^ 2theta #

# => Kleur (blauw) (cos ^ 2 ((37pi) / 2) = cos ^ 2 ((3pi) / 2 + pi / 24) = sin ^ 2 (pi / 24) … aan (2) #

Gebruik makend van # (1) en (2) #

# X = cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + (rood) (cos ^ 2 ((31π) / 24)) + kleur (blauw) (cos ^ 2 ((37π) / 24) #

# = Cos ^ 2 (pi / 24) + cos ^ 2 ((19pi) / 2) + (rood) (sin ^ 2 ((19pi) / 2)) + kleur (blauw) (sin ^ 2 (pi / 24) #

# = {Cos ^ 2 (pi / 24) + sin ^ 2 (pi / 24)} + {cos ^ 2 ((19pi) / 2) + sin ^ 2 ((19pi) / 2} #

# = 1 + 1 … tot as, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1 #

#=2#