Wat zijn de extrema- en zadelpunten van f (x, y) = xy (1-x-y)?

Antwoord:

De punten #(0,0),(1,0)#, en #(0,1)# zijn zadelpunten. Het punt #(1/3,1/3)# is een lokaal maximumpunt.

Uitleg:

We kunnen uitbreiden # F # naar #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Zoek vervolgens de gedeeltelijke afgeleiden en stel ze gelijk aan nul.

# frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Duidelijk, # (X, y) = (0,0), (1,0), # en #(0,1)# zijn oplossingen voor dit systeem, en dat zijn ook kritieke punten van # F #. De andere oplossing is te vinden in het systeem # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. De eerste vergelijking voor oplossen # Y # aangaande met #X# geeft # Y = 1-2x #, die kan worden ingeplugd in de tweede vergelijking om te krijgen # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Van dit, # Y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # ook.

Om de aard van deze kritieke punten te testen, vinden we tweede afgeleiden:

# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x #, en # frac { partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { partial y partial x} = 1-2x-2y #.

De discriminant is daarom:

# D = 4xy- (1-2x-2Y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2Y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4Y ^ 2-4xy-1 #

Het aansluiten van de eerste drie kritieke punten geeft:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, en #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, het maken van deze punten zadel punten.

Het aansluiten van het laatste kritieke punt geeft #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Merk ook op dat # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. daarom #(1/3,1/3)# is een locatie met een lokale maximumwaarde van # F #. U kunt controleren of de lokale maximumwaarde zelf is #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Hieronder staat een afbeelding van de contourkaart (van niveau curven) van # F # (de curves waar de uitvoer van # F # is constant), samen met de 4 kritieke punten van # F #.