Van de 7 loten zijn er 3 prijswinnende kaartjes. Als iemand 4 kaartjes koopt, wat is dan de kans om minstens twee prijzen te winnen?

Antwoord:

# P = 22/35 #

Uitleg:

Dus we hebben #3# winnen en #4# niet-winnende tickets bij #7# tickets beschikbaar.

Laten we het probleem opsplitsen in vier onafhankelijke elkaar uitsluitende gevallen:

(a) er zijn #0# winnende tickets onder die #4# kocht

(zo, allemaal #4# gekochte kaartjes zijn van een pool van #4# niet-winnende tickets)

(b) er is #1# winnende ticket onder die #4# kocht

(zo, #3# gekochte kaartjes zijn van een pool van #4# niet-winnende tickets en #1# ticket is van een pool van #3# winnende tickets)

(c) er zijn #2# winnende tickets onder die #4# kocht

(zo, #2# gekochte kaartjes zijn van een pool van #4# niet-winnende tickets en #2# kaartjes zijn van een pool van #3# winnende tickets)

(d) er zijn #3# winnende tickets onder die #4# kocht

(zo, #1# gekocht kaartje is van een pool van #4# niet-winnende tickets en #3# kaartjes zijn van een pool van #3# winnende tickets)

Elk van de bovenstaande gebeurtenissen heeft zijn eigen kans om te voorkomen.We zijn geïnteresseerd in gebeurtenissen (c) en (d), de som van de waarschijnlijkheden van hun optreden is waar het probleem over gaat. Deze twee onafhankelijke evenementen vormen het evenement "het winnen van ten minste twee prijzen". Omdat ze onafhankelijk zijn, is de waarschijnlijkheid van een gecombineerde gebeurtenis een som van de twee componenten.

Waarschijnlijkheid van evenement (c) kan worden berekend als een verhouding van het aantal combinaties van #2# gekochte kaartjes zijn van een pool van #4# niet-winnende tickets en #2# kaartjes zijn van een pool van #3# winnende tickets (# N_c #) tot het totale aantal combinaties van #4# uit #7# (N).

# P_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 #

De teller # N_c # is gelijk aan het aantal combinaties van #2# winnende kaartjes uit #3# beschikbaar # C_3 ^ 2 = (3!) / (2 * 1!) = 3 # vermenigvuldigd met het aantal combinaties van #2# niet-winnende tickets van #4# beschikbaar # C_4 ^ 2 = (4!) / (2 * 2?) = 6 #.

Dus, de teller is

# N_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 = 3 * 6 = 18 #

De noemer is

# N = C_7 ^ 4 = (7!) / (4 * 3!) = 35 #

Dus de kans op gebeurtenis (c) is

# P_c = N_c / N = (3 * 6) / 35 = 18/35 #

Evenzo hebben we voor geval (d)

# N_d = C_3 ^ 3 * C_4 ^ 1 = 1 * 4 = 4 #

# P_d = N_d / N = 4/35 #

Het totaal van de kansen van gebeurtenissen (c) en (d) is

# P = P_c + P_d = 18/35 + 4/35 = 22/35 #