Hoe bewijs je arcsin x + arccos x = pi / 2?

Antwoord:

zoals getoond

Uitleg:

Laat

# Arcsinx = theta #

dan

# X = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => Arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Antwoord:

De verklaring is waar wanneer de inverse trigfuncties verwijzen naar de hoofdwaarden, maar dat vereist meer zorgvuldige aandacht om te tonen dan het andere antwoord biedt.

Wanneer de inverse trig-functies als meerwaardig worden beschouwd, krijgen we bijvoorbeeld een meer genuanceerd resultaat

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # maar #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

We moeten aftrekken om te krijgen # Pi / 2 #.

Uitleg:

Deze is lastiger dan het lijkt. Het andere antwoord betaalt het niet het juiste respect.

Een algemene afspraak is om de kleine letter te gebruiken #arccos (x) # en #arcsin (x) # als meerwaardige uitdrukkingen, waarbij elk respectievelijk alle waarden aangeeft waarvan de cosinus of sinus een bepaalde waarde heeft #X#.

De betekenis van de som daarvan is echt elke mogelijke combinatie, en die zou niet altijd geven # Pi / 2. # Ze geven zelfs niet altijd een van de sectielijnen # pi / 2 + 2pi k quad # geheel getal # K #, zoals we nu laten zien.

Laten we eerst kijken hoe het werkt met de meervoudig inverse trig functies. Onthoud in het algemeen # cos x = cos a # heeft oplossingen # x = pm a + 2pi k quad # geheel getal # K #.

# c = arccos x # echt betekent

#x = cos c #

#s = arcsin x # echt betekent

#x = sin s #

#y = s + c #

#X# speelt de rol van een echte parameter die vaagt #-1# naar #1#. We willen oplossen voor # Y #, vind alle mogelijke waarden van # Y # die een hebben #x, s # en # C # dat maakt deze simultane vergelijkingen #x = cos c, x = sin s, y = s + c # waar.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

We gebruiken onze bovenstaande algemene oplossing over de gelijkheid van cosinussen.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # geheel getal # K #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Dus we krijgen het veel vager resultaat, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Het is toegestaan om het bord aan te zetten # K. #)

Laten we ons nu concentreren op de belangrijkste waarden, die ik schrijf met hoofdletters:

Laten zien #text {Arc} tekst {sin} (x) + tekst {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 #

De verklaring geldt inderdaad voor de hoofdwaarden die op de gebruikelijke manier zijn gedefinieerd.

De som is alleen gedefinieerd (totdat we behoorlijk diep in complexe getallen komen) # -1 le x le 1 # omdat de geldige sinussen en cosinussen binnen dat bereik vallen.

We zullen naar elke kant van het equivalent kijken

# tekst {Arc} tekst {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) #

We nemen de cosine van beide kanten.

#cos (tekst {Arc} tekst {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)) = sin (tekst {Arc} tekst {sin} (x)) = x #

Dus zonder ons zorgen te maken over tekenen of belangrijke waarden weten we het zeker

#cos (tekst {Arc} tekst {cos} (x)) = cos (pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)) #

Het lastige deel, het deel dat respect verdient, is de volgende stap:

#text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad # NOG NIET ZEKER

We moeten voorzichtig zijn. Laten we het positieve en negatieve nemen #X# afzonderlijk.

Eerste # 0 le x le 1 #. Dat betekent dat de hoofdwaarden van beide inverse trig functies zich bevinden in het eerste kwadrant, tussen #0# en # Pi / 2. # Beperkt tot het eerste kwadrant, impliceren gelijke cosinussen gelijke hoeken, dus hier concluderen we voor #x ge 0, #

#text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad #

Nu # -1 le x <0. # De hoofdwaarde van het inverse teken bevindt zich in het vierde kwadrant en voor #x <0 # we definiëren meestal de hoofdwaarde in het bereik

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - tekst {Arc} tekst {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) le pi #

De belangrijkste waarde voor de negatieve inverse cosinus is het tweede kwadrant, # pi / 2 <tekst {Arc} tekst {cos} (x) le pi #

Dus we hebben twee hoeken in het tweede kwadrant waarvan de cosinussen gelijk zijn, en we kunnen concluderen dat de hoeken gelijk zijn. Voor #x <0 #, #text {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 - tekst {Arc} tekst {sin} (x) quad #

Dus hoe dan ook, # tekst {Arc} tekst {sin} (x) + tekst {Arc} tekst {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #