Wat is de vergelijking van de lijntangens aan f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x aan x = sqrtpi?

Antwoord:

De vergelijking is ongeveer:

#y = 3.34x - 0.27 #

Uitleg:

Om te beginnen, moeten we bepalen #f '(x) #, zodat we weten wat de helling is van #f (x) # is op elk moment, #X#.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

gebruik van de productregel:

# f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Dit zijn standaard afgeleide producten:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Dus onze afgeleide wordt:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Het gegeven invoegen #X# waarde, de helling om #sqrt (pi) # is:

# f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Dit is de helling van onze lijn op het punt # x = sqrt (pi) #. We kunnen vervolgens het y-snijpunt bepalen door in te stellen:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Dit geeft ons de niet-vereenvoudigde vergelijking voor onze lijn:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

Oplossen voor b, we eindigen met de irritant ingewikkelde formule:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Dus onze lijn eindigt als:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Als we eigenlijk berekenen wat deze irritant grote coëfficiënten zijn, komen we uit op de geschatte regel:

#y = 3.34x - 0.27 #