Wat is de betekenis van de limiet van een functie?

Antwoord:

De verklaring #lim_ (x a) f (x) = L # betekent: als #X# komt dichterbij #een#, #f (x) # komt dichterbij # L #.

Uitleg:

De precieze definitie is:

Voor elk echt nummer #ε>0#er bestaat nog een reëel getal #δ>0# zodanig dat als # 0 <| x-a |<>, dan # | F (x) -L |<>.

Overweeg de functie #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Als we de grafiek plotten, ziet het er als volgt uit:

We kunnen niet zeggen wat de waarde is # X = 1 #, maar het ziet eruit als #f (x) # benaderingen #2# zoals #X# benaderingen #1#.

Laten we proberen dat te laten zien #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

De vraag is, hoe komen we eruit # 0 <| x-1 |<> naar # | (X ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

We moeten beginnen met een waarde van #ε# en zoek vervolgens een vind een overeenkomstige waarde voor #δ#.

Laten we beginnen met

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((X + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

De andere voorwaarde is

# | X-1 | <δ #

De definitie past precies als #δ = ε#.

We hebben dat zojuist voor iedereen laten zien #ε#, er is een #δ# zodat # | F (x) -2 |<> wanneer # 0 <| x-1 |<>.

Dus dat hebben we aangetoond

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #